Moderators: dirkwb, Xilvo
-
- Berichten: 232
Hallo,
ik was ff. bezig mezelve te bewijzen wat de afgeleide van een logaritmische functie is dmv. limietstelling.
Dus:
\(\frac{d(^a\log(x))}{dx} = \lim _{\Delta x \rightarrow 0}\frac{^a\log(x+\Delta x)-^a\log(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{^a\log(\frac{x+\Delta x}{x})}{\Delta x}}\)
Vanaf hier eigenlijk loop ik vast
...
Iemand een tip welke richting ik uit moet, je hoeft het antwoord niet direct te geven. Wil het zelf eerst knn. oplossen.
Dankjewel.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
\(y=^a \log (x) \)
Dit mag je ook schrijven als:
\(\frac{1}{\ln a} \cdot \ln(x) \)
-
- Berichten: 232
Het gebruik van neperlogaritmen ken ik, maar ik zou het graag kunnen bewijzen a.d.h.v. limietstelling. Bovendien gebruik je je bij neperlogaritmen ook het gegeven dat
\(^a\log(x)=\frac{ln(x)}{ln(a)}\)
, iets waar ik het bewijs ook niet voor heb. Uit het maken van oefeningen weet ik dat het wel geldt, maar gaarne had ik het mezelf ook wiskundig bewezen.
Dus alle tips om m'n 1ste post te bewijzen zijn geldig, want ik geraak er niet echt uit..
Dankjewel.
-
- Berichten: 10.179
De vraag is natuurlijk maar wat je als gekend wilt aannemen
. Ken je bijvoorbeeld het getal 'e' al op die moment? Een manier om verder te gaan is dan:
\(\lim_{h \to 0} \frac{\log_a(\frac{x + h}{x})}{h} = \lim_{h \to 0} \log_a(\frac{x + h}{x})^{1/h} = \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \log_a(1 + \frac{h}{x})^{x/h}\)
.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
\(y=^a \log(x) \)
\(x=a^y \)
\(\ln (x)=\ln a^y \)
\(\ln (x)=y \cdot \ln (a) \)
\(y=\frac{\ln(x)}{\ln(a)} \)
-
- Berichten: 232
\( \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \log_a(1 + \frac{h}{x})^{x/h}\)
Hier vervang je h door t als volgt:
\( t=\frac{1}{h}\)
Vervolgens wordt de vgl. :
\(\frac{1}{x}\lim_{t \to + \infty}\log_a(1 + \frac{1}{t.x})^{x.t}\)
, dit zou ik gelijk willen hebben aan
\(\frac{1}{x}\)
Maar wat met de waarde van x (deze zou 1 moeten zijn opdat de termen gelijk aan e wordt)..
Dankjewel.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Uit die limiet in je laatste bericht komt:
\(\frac{1}{x} \cdot ^a \log (e) \)
Begrijp je dit ?
-
- Berichten: 232
\(\frac{1}{x} \cdot ^e \log (e) = \frac{1}{x}\)
Dit begrijp ik, maar ik zie niet hoe dat uit mijn laatste bericht kan worden gehaalt.
Er geldt hetvolgende:
\( \lim_{n \to + \infty}(1+\frac{x}{n})^{n}=e^{x} \)
Indien
x = 1, is deze
limiet = e.
Ik heb toch enkel:
\(^e \log[\lim_{t \to + \infty}(1 + \frac{1}{t.x})^{x.t}]\)
, maar ik zit nog met factor x (in de noemer en in de macht). Wat moet ik daarmee dan doen?
Het bewijsje is bijna opgelost, enkel dit laatste ambetant dingetje nog..
Dankjewel.
-
- Berichten: 10.179
Als t naar oneindig gaat, naar waar gaat t*x dan (we veronderstellen even dat x strikt groter dan 0 is, maar die veronderstelling was al eerder gemaakt impliciet)?
Bovendien: je schrijft nu plots grondtal 'e', het is wel 'a'. En je zet een paar stappen (zoals de limiet binnenschuiven) waarvan toch verantwoording nodig is. Als je dat beseft, is het goed.
-
- Berichten: 232
Als t naar oneindig gaat, naar waar gaat t*x dan (we veronderstellen even dat x strikt groter dan 0 is, maar die veronderstelling was al eerder gemaakt impliciet)?
t*x gaat dan naar oneindig
Ik heb nog even alles overlopen en dit is mijn resultaat:
\(y=^a \log(x)\)
\(y=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}\)
ln(a) is constant
ln(x) ga ik afleiden naar x
\(ln(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\log_a(\frac{x + h}{x})}{h} = \lim_{h \to 0} \log_a(\frac{x + h}{x})^{1/h} = \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \log_a(1 + \frac{h}{x})^{x/h}\)
h vervang ik als volgt:
\( t=\frac{1}{h}\)
ln(x)' wordt dan:
\(\frac{1}{x}\lim_{t \to + \infty}\log_a(1 + \frac{1}{t.x})^{x.t}\)
ik heb deze limiet uitgewerkt dmv. l'Hospital:
\(\lim_{t \to + \infty} \log_a(1 + \frac{1}{t.x})^{x.t} = e\)
dus wordt ln(x)' :
\(ln(x)'=\frac{1}{x} \cdot ^a \log (e) \)
het voorlopige resultaat is dan:
\(y(x)'=\frac{\frac{1}{x} \cdot ^a \log (e)}{ln(a)} \)
In de laatste uitdrukking moet dus nog
\(^a\log(e)\)
worden weggewerkt.
mvg
-
- Pluimdrager
- Berichten: 6.591
Bedoel je met die laatste formule in je laatste bericht de eerste afgeleide van
\(y=^a \log(x) \)
Dan klopt het verhaal niet.
De eerste afgeleide daarvan zou moeten zijn
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\ln(a)} \cdot \frac{1}{x} \)
Probeer nu de term
\(^a \log(e) \)
zo om te werken dat deze term gelijk wordt aan
\(\frac{1}{\ln(a)} \)
-
- Berichten: 232
Heb het kunnen oplossen.
Ik zal hier ff. m'n laatste bericht opnieuw posten met de bijhorende aanpassingen:
\(y=^a \log(x)\)
\(y=\frac{ln(x)}{ln(a)}\)
ln(a) is constant
ln(x) ga ik afleiden naar x
\(ln(x)' = \lim_{h \to 0} \frac{^e \log(\frac{x + h}{x})}{h} = \lim_{h \to 0} \log_e(\frac{x + h}{x})^{1/h} = \frac{1}{x} \lim_{h \to 0} \log_e(1 + \frac{h}{x})^{x/h}\)
h vervang ik als volgt:
\( t=\frac{1}{h}\)
ln(x)' wordt dan:
\(\frac{1}{x}\lim_{t \to + \infty}\log_e(1 + \frac{1}{t.x})^{x.t}\)
ik heb deze limiet uitgewerkt dmv. l'Hospital:
\(\lim_{t \to + \infty} \log_e(1 + \frac{1}{t.x})^{x.t} = 1\)
dus wordt ln(x)' :
\(ln(x)'=\frac{1}{x}\)
het eindresultaat (de afgeleide van
\(y=^a \log(x)\)
):
\(y'=\frac{1}{x.ln(a)}\)
Voila, mooi uitgewerkt. Merci aan iedereen die me heeft geholpen
.
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Wat vind je van:
\(\frac{d(\ln(x))}{dx} = \lim _{h \rightarrow 0}\frac{\ln(x+h)-\ln(x)}{h}=...\)
Stel: ln(x)=t =>x=e^t en ln(x+h)=t+k =>x+h=e^(t+k)
\(\frac{d(\ln(x))}{dx} = \lim _{k \rightarrow 0}\frac{t+k-t}{e^{t+k}-e^t}=\frac 1 {\lim _{k \rightarrow 0}\frac{e^{t+k}-e^t}{k}}=...\)
Kan je verder gaan ...
Vraag: waarom gaat k naar 0 als h tot 0 nadert?
-
- Berichten: 232
Vraag: waarom gaat k naar 0 als h tot 0 nadert?
\(x+h=e^{t+k}=e^{t}.e^{k}=>x=e^{t}\)
met
\(\left\{ \begin{array}{rcl} h->0\\ k->0\end{array}\right\)
Enkel dient nu de limiet
\(\lim _{k \rightarrow 0}\frac{e^{t+k}-e^{t}}{k}\)
opgelost te worden.
\(\lim _{k \rightarrow 0}\frac{e^{t+k}-e^{t}}{k} = \frac{0}{0}\)
Dmv. de regel van de l'Hospital:
\(\lim _{k \rightarrow 0}\frac{e^{t+k}}{1}\)
Dit uitwerken geeft dan:
\(e^{t}=x\)
Dit invullen in:
\(\frac{1}{\lim _{k \rightarrow 0}\frac{e^{t+k}-e^{t}}{k}}\)
geeft dan
\(\frac{1}{x}\)
, wat de afgeleide is van
\( ln(x)\)
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
hwgxx7 schreef:\(x+h=e^{t+k}=e^{t}.e^{k}=>x=e^{t}\)
met
\(\left\{ \begin{array}{rcl} h->0\\ k->0\end{array}\right\)
Enkel dient nu de limiet
\(\lim _{k \rightarrow 0}\frac{e^{t+k}-e^{t}}{k}\)
opgelost te worden.
Je kan toch e^t buiten de limiet zetten ...
Om welke limiet gaat het dan in feite?
