\((xy^2+y)\textrm{d}x + (x^2y+x)\textrm{d}y=0\)
Ik definieer \(M(x,y)=xy^2+y\) en \(N(x,y)=x^2y+x\)Om te beginnen verifieer ik dat de vergelijking exact is volgens de voorwaarde:
\(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\)
Dit klopt dus de vergelijking is exact. Nu probeer ik een functie \(\phi(x,y)\) te vinden zodat:
\(\frac{\partial \phi}{\partial x} = M\)
en \(\frac{\partial \phi}{\partial y} = N\)
Om te beginnen integreer ik M naar x en maak ik gebruik van een integratie"constante" C(y):\(\phi(x,y) = \int M(x,y)\textrm{d}x = \int (xy^2+y)\textrm{d}x = \frac{1}{2}x^2y^2 + yx + \textrm{C}(y)\)
Dit moet voldoen aan:\(\frac{\partial \phi}{\partial y} = N = x^2y +x = 2x^2y + x + \textrm{C}'(y)\)
Dus \(\textrm{C}'(y)=-x^2y\) en dus \(\textrm{C}(y)=-\frac{1}{2}x^2y^2\)Dit vind ik al vreemd. Ik heb hier een C(x,y) gevonden in plaats van een C(y). Maar ik ga gewoon even door alsof er niets aan de hand is.
Dit substitueer ik in \(\phi(x,y)\):
\(\phi(x,y)=yx+\textrm{C}_1\)
De volgende 'level curves' zijn dan een oplossing van de differentiaalvergelijking:\(yx=\textrm{C}_2\)
Bij de antwoorden staat echter als oplossing: \(x^2y^2+2xy=C\)Er gaat dus iets helemaal mis. Kan iemand me helpen? Alvast bedankt.
