Hoek tussen 2 functie's

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 08-02-'12, 10:47

hwgxx7

Berichten: 232

Hoek tussen 2 functie's

Hallo,

ik zou graag weten hoe ik me een hoek tussen functie's dien voor te stellen. Er wordt gesteld dat a.d.h.v. het scalaire product:
\(\int_{0}^{2\pi}p(x)q(x)dx\)
met
\( p(x)=sin(x)\)
en
\(q(x)=cos(x)\)
, als resultaat
\(\frac{\pi}{2}\)
geeft... Wiskundig kan ik dit berekenen en interpreteren. De hoek tss. 2 vectoren uit bv.
\( R^{2}\)
kan ik me goed voorstellen, maar hoe kan kan (indien mogelijk) dit doen voor (deze) functie's?

Dankjewel.
Omhoog

Bericht 08-02-'12, 11:19

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Hoek tussen 2 functie's

Als twee functies snijden kan je in dat snijpunt de raaklijnen bepalen aan beide functies (als die bestaan). De hoek tussen de functies, in dat snijpunt, is dan per definitie de hoek tussen de raaklijnen, hetgeen je via richtingsvectoren terug kan herleiden tot een hoek tussen vectoren.

<!--graphstart--><script type="text/javascript">graph(-0.5,1.9,-0.5,1.9,300,300,600,600,'sin(x)','cos(x)','sqrt(2)/2*(x-pi/4)+sqrt(2)/2','-sqrt(2)/2*(x-pi/4)+sqrt(2)/2')</script><!--graphend-->

Dan gaat het dus echt over een hoek die twee functies ten opzichte van elkaar maken.

Meer abstract noem je functies op een heel interval orthogonaal (ten opzichte van een zeker inproduct) als hun inproduct 0 is; misschien komt jouw opgave eerder uit die context?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 08-02-'12, 11:26

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Hoek tussen 2 functie's

\(\int_0^{2 \pi} \sin(x) \cos(x) dx = \frac{1}{2} \int_0^{2 \pi} \sin(2 x) dx = \frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2} \cos(2 x) \right]_0^{2 \pi} = 0 \neq \frac{\pi}{2}\)


Verder heb ik nog nooit gehoord van de hoek tussen twee functies. Het zou over de hoek van de functies in een snijpunt kunnen gaan, maar daar is de gegeven integraal niet zinnig bij (voor zover ik zie).
Omhoog

Bericht 08-02-'12, 13:14

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Hoek tussen 2 functie's

Meer abstract noem je functies op een heel interval orthogonaal (ten opzichte van een zeker inproduct) als hun inproduct 0 is; misschien komt jouw opgave eerder uit die context?
Ik vermoed dat de cursusschrijver hierop doelt, grafisch is er (ook) sprake van orthogonaliteit tgv. hun raaklijn maar dit doet niets ter zake in deze concrete situatie.

De hoek tss. 2 vectoren wordt (volgens m'n cursus) gedefinieerd als volgt:
\(cos(\theta)=\frac{\vert<p(x),q(x)>\vert}{\vert\vert p(x)\vert\vert.\vert\vert q(x) \vert \vert}\)
, dit geeft pi/2 als antwoord dan...

Enkel abstract staan beide functie orhtogonaal op elkaar, er is (bestaat) geen soort van 'visuele controle' om beide functie's op deze menier voor te stellen (dus zoals 'gewone' orthogonale vectoren)?

Mvg.
Omhoog

Bericht 08-02-'12, 13:56

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Hoek tussen 2 functie's

Ik snap niet wat je bedoelt met 'enkel abstract'. In het snijpunt staan de raaklijnen toch gewoon loodrecht op elkaar?
Omhoog

Bericht 08-02-'12, 16:52

eendavid

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Hoek tussen 2 functie's

De hoek uit hwgxx7's post heeft inderdaad absoluut niets te maken met de hoek die de raaklijnen maken in een punt waar beide functies mekaar snijden. Er is bijvoorbeeld geen manier om aan de grafiek te zien of functies orthogonaal staan met betrekking tot dit scalair product. Natuurlijk, als je de functieruimte zelf als een vectorruimte ziet (en om één of andere reden wil tekenen), dan vertelt die hoek je hoe je de vectoren moet tekenen.
Omhoog

Bericht 08-02-'12, 23:13

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Hoek tussen 2 functie's

Natuurlijk, als je de functieruimte zelf als een vectorruimte ziet (en om één of andere reden wil tekenen), dan vertelt die hoek je hoe je de vectoren moet tekenen.
Ik heb moeite met dit te interpreteren, bedoel je dat het mogelijk is een functieruimte (hier vectorfunctie's sin(x), cos(x)) visueel te tekenen a.d.h.v. de hoek..of begrijp ik het verkeerd ?

Mvg.
Omhoog

Bericht 08-02-'12, 23:36

317070

Gebruikersavatar
Berichten: 5.609

Re: Hoek tussen 2 functie's

hwgxx7 schreef:Ik heb moeite met dit te interpreteren, bedoel je dat het mogelijk is een functieruimte (hier vectorfunctie's sin(x), cos(x)) visueel te tekenen a.d.h.v. de hoek..of begrijp ik het verkeerd ?

Mvg.
Praktisch gaat dat natuurlijk niet, een functie is een oneindig dimensionale vector.

Maar je kunt a.d.h.v. de analogie wel bedenken hoe het scalair product in verband staat met hoeken, ook al kun je de hoeken hier niet concreet voorstellen omdat we slechts 2-dimensionaal kunnen tekenen.
De hoek tss. 2 vectoren uit bv. LaTeX kan ik me goed voorstellen, maar hoe kan kan (indien mogelijk) dit doen voor (deze) functie's?
De hoek zelf kun je je niet echt voorstellen in de zin van visualiseren, hoogstens kun je er wat basisideeën bij bedenken. Het belangrijkste is dat je conceptueel kunt denken door ideeën van onze 3-dimensionale ruimte door te trekken naar hoger of zelfs oneindig dimensionale ruimtes.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet

And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign

-Alanis Morisette-
Omhoog

Bericht 09-02-'12, 12:15

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Hoek tussen 2 functie's

Oké, dankjewel voor de antwoorden!

Mvg.
Omhoog

Bericht 20-02-'12, 18:47

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Hoek tussen 2 functie's

Waar je naar vraagt is de hoek tussen twee vectoren. In dit geval zijn de vectoren functies en je berekent dus een hoek tussen twee functies in de functieruimte. Om de hoek te bepalen kun je gewoon de inproductformule gebruiken:
\(\vec{p}\cdot\vec{q} = pq \cos(\theta)\)
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 20-02-'12, 23:54

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Hoek tussen 2 functie's

Ik bekeek het teveel als een grafisch gegeven, zoals de hoek tussen 2 vectoren die je kan tekenen..Maar dit deze materie is uiteraard een pak abstracter.

Zijn hier direct practische toepassingen van eigenlijk (alleszins wel wrs.) maar waar in welke disciplines worden deze zaken practisch benaderd?

Mvg.
Omhoog

Bericht 20-02-'12, 23:58

tempelier

Gebruikersavatar
Berichten: 4.320

Re: Hoek tussen 2 functie's

hwgxx7 schreef:Ik bekeek het teveel als een grafisch gegeven, zoals de hoek tussen 2 vectoren die je kan tekenen..Maar dit deze materie is uiteraard een pak abstracter.

Zijn hier direct practische toepassingen van eigenlijk (alleszins wel wrs.) maar waar in welke disciplines worden deze zaken practisch benaderd?

Mvg.
Fourier reeksen berusten hier op.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.
Omhoog

Bericht 21-02-'12, 00:19

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Hoek tussen 2 functie's

Juist ja, die heb ik al gemaakt..Stom dat ik daarover had gezien. Kan je me mss. een link bezorgen waar de koppeling kan getoond worden tussen vectorruimten en differentiaalvergelijkingen?

Ik heb me al gek gezocht, maar nergens vond/vindt ik echt een duidelijke en heldere uitleg..

Mvg.
Omhoog

Bericht 21-02-'12, 10:34

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Hoek tussen 2 functie's

http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_differential_equation

Kijk bij "Solved example of a matrix ODE". Daar wordt lineaire algebra gebruikt om een stelsels differentiaalvergelijkingen op te lossen.
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 21-02-'12, 21:19

hwgxx7

Berichten: 232

Re: Hoek tussen 2 functie's

Oké, ik zal dat eens goed bekijken. Dankjewel voor de hulp.

Mvg.
Omhoog
Reageer

Terug naar “(Lineaire) Algebra en Meetkunde”