Springen naar inhoud

Probleem bewijzen stelling met limieten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Agazo

    Agazo


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2012 - 17:44

Hoi,

Ik probeer de volgende ''stelling'' te bewijzen:

Gegeven zijn een functie f: LaTeX -> LaTeX , en een punt a LaTeX
LaTeX . Met lim x->a bedoelen we dat er een b LaTeX LaTeX bestaat zo dat lim x->a f(x) = b.

Bewijs: als lim x-> a f(x) bestaat, dan bestaat er voor elke LaTeX >0 een LaTeX > 0 zodat voor alle x, y LaTeX LaTeX geldt:

x, y LaTeX Dom (f) LaTeX B(a ; LaTeX ) LaTeX d(f(x), f(y)) < LaTeX

Mijn uitwerking:

Stel dat het lim x->a f(x) = b. Dan weten we dat er een LaTeX > 0 bestaat zodat |f(x) - b| < LaTeX /2.

d(f(x), f(y)) = |f(x) - f(y)| = |(f(x) - b) + (b - f(y)| LaTeX |(f(x) - b)| + |b - f(y)| = |f(x) - b| + |f(y) - b| < LaTeX /2 + |f(y) - b|

Als ik kan laten zien dat |f(y) - b| < LaTeX /2 is dan ben ik klaar. Alleen zie ik niet in hoe ik dit moet doen? Ik weet dat y y LaTeX Dom (f) LaTeX B(a ; LaTeX ) dus f(y) LaTeX (f(Dom (f) LaTeX B(a ; LaTeX )). Kan ik hier zomaar uit concluderen dat |f(y) - b| < LaTeX /2?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 februari 2012 - 18:06

Ik weet dat y y LaTeX

Dom (f) LaTeX B(a ; LaTeX )

Dus |y - a| < ;)... Kun je daar niets mee?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Agazo

    Agazo


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2012 - 19:04

Dus |y - a| < ;)... Kun je daar niets mee?


Ik zie niet meteen hoe ik hier iets mee kan doen

#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 februari 2012 - 19:08

Stel dat het lim x->a f(x) = b. Dan weten we dat er een LaTeX

> 0 bestaat zodat |f(x) - b| < LaTeX /2.

Hier gebruik je eigenlijk dat toch ook, maar dan voor x? Nu zijn y en x natuurlijk maar symbolen, en voor de rest doen die er niet echt toe. Ik kan dus gerust overal x door y vervangen, ŕls |y-a| natuurlijk kleiner is dan delta.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

Agazo

    Agazo


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2012 - 19:26

Hier gebruik je eigenlijk dat toch ook, maar dan voor x? Nu zijn y en x natuurlijk maar symbolen, en voor de rest doen die er niet echt toe. Ik kan dus gerust overal x door y vervangen, ŕls |y-a| natuurlijk kleiner is dan delta.


Ah, ik snap het. Bedankt!

#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 februari 2012 - 19:30

Graag gedaan ;). Kun je, ter controle, je volledig bewijs dan hier posten?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Agazo

    Agazo


  • 0 - 25 berichten
  • 5 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 18 februari 2012 - 20:12

Stel dat het lim x->a f(x) = b. Dan weten we dat er een LaTeX > 0 bestaat zodat |f(x) - b| < LaTeX /2. We weten dat |x-a| < LaTeX en |y-a| < LaTeX . Omdat |f(x) - b| <LaTeX /2 geldt voor |f(y) - b| hetzelfde. m.a.w |f(y) - b| < LaTeX /2

d(f(x), f(y)) = |f(x) - f(y)| = |(f(x) - b) + (b - f(y)| LaTeX |(f(x) - b)| + |b - f(y)| = |f(x) - b| + |f(y) - b| < LaTeX /2 + LaTeX /2 = LaTeX





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures