Wat er nu komt heb ik in het college opgeschreven, maar ik snap het nog niet helemaal.
Ik moet bewijzen dat: Als
\(C \subseteq \mathbb{R}^k\)
compact is, dat er dan geldt dat \(C\)
gesloten is.We moeten dus bewijzen dat
\( \mathbb{R}^k \backslash C\)
open is.Neem
\(x_0 \in\mathbb{R}^k\)
als \(x\in C \)
dan geldt er\( |x-x_0|>0\)
. Noem nu \(r_x = \frac{1}{2}|x-x_0|\)
, dan \(B(x,r_x) \cap B(x_0,r_x) = \emptyset. \)
Maar waarom de geldt de laatste uitdrukking? Want stel dat ik een verzameling
\(C\)
heb en heel dicht in de buurt van de rand een punt \(x\)
neem, met de hierboven genoemde straal, dan kunnen de open bollen \(B(x,r_x) \)
en t \( B(x_0,r_x) \)
elkaar toch overlappen?Of zie ik iets over het hoofd?
Alvast bedankt.
