Springen naar inhoud

Toestandsvergelijking voor entropie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 februari 2012 - 09:08

In hoofdstuk 1 van Chandler's Introduction to Modern Statistical Mechanics introduceert de schrijver de tweede wet van thermodynamica als volgt: There is an extensive function of state, entropy LaTeX , which is a monotonically increasing function of LaTeX , and if state LaTeX is adiabatically accessible from state LaTeX , the LaTeX . Dit houdt dus in dat LaTeX , of dat LaTeX , waarbij deze laatste gedefinieerd is als temperatuur LaTeX . Verder leidt de schrijver af dat LaTeX .

Nu komt de vraag. Stel dat de toestandsvergelijking van een rubberen band een van deze twee mogelijkheden is:
(1) LaTeX
(2) LaTeX
Waarbij LaTeX en LaTeX , LaTeX en LaTeX zijn constanten enLaTeX is de lengte van de rubberen band. Welke van deze twee mogelijkheden is acceptabel en waarom? Bepaal hiervoor LaTeX .

Het enige wat ik kan bedenken waarom iets wel of niet kan is dat LaTeX een monotoon stijgende functie moet zijn in LaTeX , en dus heb ik de afgeleiden bepaald.
(1) LaTeX
(2) LaTeX
Maar beide zijn nu altijd groter dan 0. Waarom kan een van de twee dan toch niet?

Verder geloof ik dat voor beide situaties geldt:
LaTeX
Kan iemand dit bevestigen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 februari 2012 - 09:33

Je kan volgens mij gebruik maken van het feit dat de functie concaaf moet zijn, dat herinnerde ik me omdat ik onlangs dit artikel las. Ik ben echter niet de volle 100 percent zeker.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#3

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 februari 2012 - 10:33

Dan zou ik dus naar de tweede afgeleide moeten kijken?

(1) LaTeX
(2) LaTeX

De eerste is altijd negatief, dus deze is een concave functie. De tweede is altijd positief, dus deze is een convexe functie. Indien dit dus een vereiste is, dan zou mogelijkheid 2 niet kunnen bestaan. Ik vind het wel vreemd dat ze deze eigenschap dan niet noemen in het boek. Het artikel heb ik geen toegang toe. Staat hierin de stelling: de functie LaTeX is strikt concaaf voor alle LaTeX en LaTeX ?

Is er nog een andere mogelijkheid?

#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 februari 2012 - 10:40

Als we ervan uitgaan dat ik p.435-441 mag plaatsen, zonder enig doel van 'copyright infringement':

Bijlage  fulltext.pdf   304,33K   26 maal gedownload

Een andere manier heb ik niet meteen in gedachten.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 februari 2012 - 11:42

Die voorwaarde wordt inderdaad gegeven in het artikel S''(X)<0.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2012 - 22:27

De voorwaarde van concaviteit volgt uit de eis dat de warmtecapaciteit positief moet zijn. Je kan snel zien dat de T die je vindt in geval (1) stijgt bij stijgende interne energie, en in geval (2) daalt bij stijgende interne energie. Je zou op basis hiervan (2) kunnen verwerpen, we weten immers dat rubber een positieve warmtecapaciteit heeft.

Er is echter een fundamenteler probleem. Is (2) een extensieve functie?

Veranderd door eendavid, 20 februari 2012 - 22:27


#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 februari 2012 - 23:02

De voorwaarde van concaviteit volgt uit de eis dat de warmtecapaciteit positief moet zijn.


Waarom vervalt die eis bij een zwart gat?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 20 februari 2012 - 23:26

Het standaardantwoord is dat het wegnemen van energie de temperatuur doet stijgen in een gravitationeel systeem. Dit is het proces dat ervoor zorgt dat een ster die energie uitstraalt uiteindelijk warmer wordt.

Heel concreet: de aarde draait rond de zon. Als ik kinetische energie van de aarde afneem, zal de aarde een baan dichter een baan dichter bij de zon beginnen volgen, en dus sneller bewegen. Zo vergaat het ook de moleculen rond een ster/zwart gat. Wanneer je energie aan ze onttrekt, komen ze dichter bij elkaar te zitten en bewegen ze net sneller, waardoor de temperatuur van het gas stijgt.

Ik denk dat je de vraag eigenlijk andersom moet stellen: waarom is de warmtecapaciteit van materialen steeds positief. Uiteindelijk denk ik dat dit te herleiden is tot de repulsieve kracht te wijten aan het Pauli uitsluitingsprincipe, die ervoor zorgt dat moleculen niet willekeurig dicht tot elkaar worden aangetrokken (en zo een baan met zeer negatieve potentiele energie, maar hoge kinetische energie, cf. viriaaltheorema, kunnen innemen).

Veranderd door eendavid, 20 februari 2012 - 23:27


#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 februari 2012 - 23:46

Bedankt voor de duidelijke uitleg! Tussen de 'gewone' omstandigheden waarbij een warmtecapaciteit positief is en de net aangehaalde omstandigheden dat de warmtecapaciteit negatief is, ligt een hele range aan omstandigheden. Bestaat er een naam, omschrijving, fysisch fenomeen,.. van de omstandigheden waarbij de warmtecapaciteit over gaat van positief naar negatief, en er bijgevolg omstandigheden bestaan waarbij de warmtecapaciteit exact 0 is?

Of is dat een kromme redenering?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

physicalattraction

    physicalattraction


  • >1k berichten
  • 3104 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 februari 2012 - 08:48

Er is echter een fundamenteler probleem. Is (2) een extensieve functie?

Ik denk inderdaad dat ik het daarin moet zoeken, bedankt! De functie LaTeX is extensief, indien LaTeX . Aangezien het tweede gedeelte steeds gelijk is, bekijk ik alleen de eerste term.

(1) LaTeX
(2) LaTeX

Functievoorschrift (2) zou wel extensief zijn als die LaTeX niet in de exponent stond.

#11

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2012 - 12:52

Precies.

@Ipit: Geen idee eigenlijk. Ik kan ook niet meteen een systeem vinden dat een dergelijke eigenschap zou hebben.

edit: ik begrijp je continuÔteitsintuitie wel, maar zo werkt het niet echt denk ik. Ik bedoel, hoe zou je op een continue manier overgaan van een rubberen band systeem naar een gravitationeel systeem? Bij T=0 is de warmtecapaciteits natuurlijk altijd 0, misschien beantwoord dat je vraag?

Veranderd door eendavid, 21 februari 2012 - 13:06


#12

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2012 - 22:15

Na verder nadenken (en een beetje rondkijken, hier bijvoorbeeld) is het volgende misschien nog relevant. De conclusie van het voorgaande was in feite dat een negatieve warmtecapaciteit correspondeert met een thermodynamisch instabiel systeem. De reden dat we toch thermodynamica kunnen doen, is dat de tijdschaal geassocieerd aan deze instabiliteit zeer groot is (veel groter dan de tijdschaal die nodig is om naar een 'macroscopisch evenwicht' te evolueren).

Misschien dat warmtecapaciteit zich voordoet bij de creatie van Bose Einstein condensaten, precies op het punt van de fasetransitie. Dat lijkt me een overgang van een stabiel naar een instabiel systeem, en misschien zijn er BECen die traag genoeg naar hun evenwicht vervallen. Maar dit is allemaal redelijk ver buiten mijn comfort zone.

Veranderd door eendavid, 21 februari 2012 - 22:17


#13

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 21 februari 2012 - 22:25

Bedankt, met je antwoorden heb ik wel weer wat stof om verder te lezen!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#14

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 februari 2012 - 14:17

Toch nog 1 opmerking, als dat mag. Wat ik zei is in het algemeen correct: je kan van + naar - gaan via een fasetransitie, maar C gaat dan van + naar +LaTeX naar -LaTeX naar -. Het is 1/C dat daar het continue gedrag vertoont. Maar algemeen divergeert C rond een fasetransitie (voeg warmte toe aan een blok ijs en de temperatuur zal gewoon 0įC blijven), hoewel het in de meeste situaties gewoon terug naar + gaat in de andere fase.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures