\(S(E,\bf{X})\)
, which is a monotonically increasing function of \(E\)
, and if state \(B\)
is adiabatically accessible from state \(A\)
, the \(S_B \geq S_A\)
. Dit houdt dus in dat \(\Bigl( \frac{\partial S}{\partial E} \Bigr)_{\bf{X}} > 0\)
, of dat \(\Bigl( \frac{\partial E}{\partial S} \Bigr)_{\bf{X}} \geq 0\)
, waarbij deze laatste gedefinieerd is als temperatuur \(T\)
. Verder leidt de schrijver af dat \(\Bigl( \frac{\partial S}{\partial \bf{X}} \Bigr)_E = - \frac{\bf{f}}{T}\)
.Nu komt de vraag. Stel dat de toestandsvergelijking van een rubberen band een van deze twee mogelijkheden is:
(1)
\(S = L_0 \gamma (\theta E / L_0)^{1/2} - L_0 \gamma \Bigl[ \frac{1}{2}\Bigl( \frac{L}{L_0}\Bigr)^2 + \frac{L_0}{L} - \frac{3}{2} \Bigr]\)
(2) \(S = L_0 \gamma e^{\theta n E / L_0} - L_0 \gamma \Bigl[ \frac{1}{2}\Bigl( \frac{L}{L_0}\Bigr)^2 + \frac{L_0}{L} - \frac{3}{2} \Bigr]\)
Waarbij \(L_0 = n l_0\)
en \(\gamma\)
, \(l_0\)
en \(\theta\)
zijn constanten en\(L\)
is de lengte van de rubberen band. Welke van deze twee mogelijkheden is acceptabel en waarom? Bepaal hiervoor \(f(T,L/n)\)
.Het enige wat ik kan bedenken waarom iets wel of niet kan is dat
\(S\)
een monotoon stijgende functie moet zijn in \(E\)
, en dus heb ik de afgeleiden bepaald.(1)
\(\Bigl( \frac{\partial S}{\partial E} \Bigr)_L = \frac{1}{2} \gamma (L_0 \theta / E)^{1/2}\)
(2) \(\Bigl( \frac{\partial S}{\partial E} \Bigr)_L = \gamma n \theta e^{\theta n E / L_0}\)
Maar beide zijn nu altijd groter dan 0. Waarom kan een van de twee dan toch niet?Verder geloof ik dat voor beide situaties geldt:
\(f = -T \Bigl( \frac{\partial S}{\partial L} \Bigr)_E = \gamma T \Bigl[ \frac{L}{L_0} - \Bigl(\frac{L_0}{L}\Bigr)^2 \Bigr]\)
Kan iemand dit bevestigen?
