Springen naar inhoud

Vrij deel van een lineaire ruimte


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Shark

    Shark


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2012 - 19:55

De stelling:
Zij V een lineaire ruimte over F en S een vrij deel van V, waarvoor geldt dat V\span(S) niet-ledig is. Dan is, voor elke vector vV\span(S) de verzameling S unie {v} eveneens een vrij deel van V.

Wanneer ik dit wil testen op R en ik S = {e1,e2} neem. Met e1(1,0,0) en e2(0,1,0), dan spannen die het XY-vlak op.
Dus V\span(S) zou dan alles buiten dat vlak zijn. Hoe kan dan de verzameling buiten dit vlak dan een deelverzameling zijn van V?

mvg Shark

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Shark

    Shark


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2012 - 21:33

En dan zou ik er nog graag het volgende aan willen toevoegen:
Geplaatste afbeelding
Is de gelijkheid van beide niet eerder het juiste teken? Hoe kan een voortbrengend deel, dat gans verzameling V kan voortbrengen, nu buiten de opgespannen ruimte van je basisvectoren liggen?
Na een eindig aantal stappen zou je toch S moeten bekomen = B en span(S)=span(B)=span(T) ?

Shark.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2012 - 21:44

Wanneer ik dit wil testen op R en ik S = {e1,e2} neem. Met e1(1,0,0) en e2(0,1,0), dan spannen die het XY-vlak op.
Dus V\span(S) zou dan alles buiten dat vlak zijn. Hoe kan dan de verzameling buiten dit vlak dan een deelverzameling zijn van V?

V is in dit geval R. Als je het xy-vlak weghaalt uit R, dan hou je toch nog steeds een deelverzameling (maar uiteraard geen lineaire deelruimte!) van V over...?

Je tweede vraag is me niet helemaal duidelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Shark

    Shark


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2012 - 22:13

i) Het eerste had ik ook niet volledig juist geformuleerd. Er moest staan:
"Hoe kan dan de verzameling buiten dit vlak een vrij deel zijn van V?"

Ik vind het raar dat die deelverzameling ({v} genoteerd) dan een vrij deel van V is. Maar ook u zegt nu dat het geen lineaire ruimte (vrij) is ... dan zit ik even vast. Of staat {v} niet voor die resterende ruimte dan?
ii) Er wordt gewerkt over F.
iii) De tweede vraag:
Bij het herformuleren van de vraag valt me in dat ik T verwisselde met span(T) :)
Het is toch wel juist dat uiteindelijk span(T) = span(S) = span(B)? Dan versta ik het plaatje denk ik.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2012 - 22:19

i) Het eerste had ik ook niet volledig juist geformuleerd. Er moest staan:
"Hoe kan dan de verzameling buiten dit vlak een vrij deel zijn van V?"

Maar dat is niet wat er staat, je past het fout toe op je voorbeeld. In de stelling wordt aan het vrij deel S precies n vector uit V\span(S) (en niet heel de deelverzameling V\span(S) !) toegevoegd aan S. Aangezien die vector buiten span(S) lag, is de unie van S met die vector nog steeds vrij.

iii) De tweede vraag:
Bij het herformuleren van de vraag valt me in dat ik T verwisselde met span(T) :)
Het is toch wel juist dat uiteindelijk span(T) = span(S) = span(B)? Dan versta ik het plaatje denk ik.

Ja, behalve dat je niet (de oorspronkelijke) S bedoelt, maar de geschikte Sk die ontstaat door de beschreven constructie (S is namelijk niet noodzakelijk voortbrengend voor V, B per definitie wel en T ook, wegens gegeven).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Shark

    Shark


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2012 - 23:21

i)
Ja dan versta ik definitie wel en kan ik hem ook direct linken aan die afbeelding. Hier is die vector niet pers een basisvector.
Dus ik herformuleer:
Wanneer we dus een vector uit R toevoegen aan S, die niet tot span({e1,e2}) behoort en niet e3 is. Dan wordt die verzameling S toch nog het vrij deel van S genoemd.

ii) De afbeelding:
Dus er wordt gezegd dat: Als er nog elementen van T zijn, die niet tot span(S) behoren. Dan kunnen we een vector van T aan het vrij deel S toevoegen. Dit mag omdat de elementen uit T, buiten span(S) liggen en dus lineair onafhankelijk van span(S) zijn. Er kunnen geen lineaire combinaties van gevormd worden.
Omdat er in T enkel basisvectoren zitten van de ruimte V, zal S uiteindelijk een basis vormen van V. Sk = B = T uiteindelijk.

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2012 - 23:35

i)
Ja dan versta ik definitie wel en kan ik hem ook direct linken aan die afbeelding. Hier is die vector niet pers een basisvector.
Dus ik herformuleer:
Wanneer we dus een vector uit R toevoegen aan S, die niet tot span({e1,e2}) behoort en niet e3 is. Dan wordt die verzameling S toch nog het vrij deel van S genoemd.

Ik begrijp niet waarom je je focust op e3, het heeft niets te maken met die derde basisvector. Eender welke vector x uit R die niet in het xy-vlak ligt, behoort niet tot span{e1,e2}, die span is immers precies het xy-vlak. Een dergelijke vector x kan je dus toevoegen aan {e1,e2} (niet aan de span ervan!) om een vrij deel te behouden (dus {e1,e1,x}). Die x kan toevallig e3 zijn, maar ook eender welke andere vector uit R\span{e1,e2}.

Omdat er in T enkel basisvectoren zitten van de ruimte V, zal S uiteindelijk een basis vormen van V. Sk = B = T uiteindelijk.

Nee, in T zitten niet enkel basisvectoren: van T is immers enkel gegeven dat span(T) = V, niet dat T ook vrij is (T is dus niet noodzakelijk een basis, het kan 'te veel' vectoren bevatten -> T is mogelijk een lineair afhankelijk stel).

Je moet het dus zo zien: T is voortbrengend (zeker genoeg vectoren, misschien te veel om basis van V te zijn) en S is zeker vrij (zeker niet te veel vectoren, misschien te weinig om basis van V te zijn). Er bestaat dus een basis 'tussen' S en T, ik bedoel: groter dan of gelijk aan S en kleiner dan of gelijk aan T; namelijk net voldoende maar ook geen enkele vector te veel. Je moet met andere woorden vectoren uit T schrappen en/of vectoren aan S toevoegen om een basis B te bekomen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Shark

    Shark


  • >25 berichten
  • 28 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2012 - 00:01

Die uitleg is me zeer helder! Bedankt TD :)

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 februari 2012 - 00:04

Ok, graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures