Elke fundamentaalrij convergeert naar het reele getal dat ze voorstelt.
Ik zal eerst effe heel het bewijs geven om een beter overzicht te hebben van wat ik nu net niet begrijp:
Bewijs
Stel de fundamentaalrij
\((a_n)_n\)
een representant van het reeel getal \(\alpha\)
en stel \(\epsilon>0\)
, er bestaat dan een rationaal getal \(d\)
zodat \(0<d<r\)
. Kies een \(n_0\)
zodat:\(\forall p,q \geq n_0: |a_p-a_q|<d\)
en dus \(\forall k \geq n_0\)
:\(\forall n \geq n_0: |a_n-a_k|<d\)
ofwel\(\forall n \geq n_0: a_k-d<a_n<a_k+d\)
waaruit volgt dat:\(a_k-d\leq \alpha\leq a_k+d\)
[/b]Dan geldt voor alle
\(k\geq n_0:\)
\(|a_k-\alpha|\leq d <\epsilon\)
De stap in het vetgedrukt begrijp ik niet helemaal. Er wordt terug overgegaan van de fundamenteelrij (een deel) naar het reele getal. Hoe gaat dit juist in z'n werk, hebben ze gewoon de equivalentieklassen van elke lid van de ongelijkheid genomen? Waarom is de ongelijkheid plots strikt? (Ik denk dat het te maken heeft dat er maar rekening wordt gehouden met een bepaald deel, nl. de 'staart' van de fundamentaalrij).Graag wat uitleg.
Bvd
