Springen naar inhoud

Volledige inductie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2012 - 23:20

Kan iemand mij helpen met de volgende vraag:

de rij {an} wordt gegeven door:

a1=0, an+1=wortel(1+2an), n=1,2,3,....

Toon met behulp van van volledige inductie aan dat de rij {an} stijgend is.

Zelf had ik bedacht dat als hij stijgend is, geldt:
an+1 > an

en dus wortel(1+2an) > an

verder loop ik helemaal vast.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 februari 2012 - 02:05

Begin al eens met te zeggen wat (volledige) inductie is, en vertaal het naar deze situatie.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 februari 2012 - 18:51

Stel {P(n)} is de uitspraak die bewezen moet worden. Als bewezen wordt dat:

1. P(n) is waar, met n het kleinst mogelijke getal dat ingevoerd kan worden.
2. P(n+1) is waar, ervan uitgaande dat P(n) waar is.

Dan is {P(n)} waar voor elke n.

Bewijs:

1. n=1:
a2 = wortel(1+(2*0)) = 1

1>0, dus het klopt.

En verder kom ik niet echt.

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 februari 2012 - 19:20

En wat is P(n) in dit geval ?

Bepaal ook a2 en a3 ...

#5

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 februari 2012 - 20:41

P(n) = an+1 > an

a2 = 1
a3 = wortel(3)

Kan ik niet het volgende doen?

2. (We nemen aan dat P(n) klopt.)
n+2:
an+2 > an+1
wortel(1+2an+1) > wortel(1+2an)

dit kan omgeschreven worden tot
wortel(1+2an) > an
=
an+1 > an

dus bewezen.

Veranderd door Nesta, 24 februari 2012 - 20:44


#6

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 februari 2012 - 21:16

Ik zie niet helemaal wat je doet, maar waarom niet zo?
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 24 februari 2012 - 21:23

P(n) = an+1 > an

a2 = 1
a3 = wortel(3)

Kan ik niet het volgende doen?

2. (We nemen aan dat P(n) klopt.)
n+2:
an+2 > an+1
wortel(1+2an+1) > wortel(1+2an)

dit kan omgeschreven worden tot
wortel(1+2an) > an
=
an+1 > an

dus bewezen.

2. (We nemen aan dat P(n) klopt.) Dus onder het gegeven dat an+1 > an, te bewijzen an+2 > an+1
n+2:
an+2 =wortel(1+2an+1) > wortel(1+2an)=an+1 Klaar!


dit kan omgeschreven worden tot
wortel(1+2an) > an
=
an+1 > an Dit is je gegeven

Graag je commentaar.
Wat moet je verder bewijzen?

#8

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 februari 2012 - 12:48

2. (We nemen aan dat P(n) klopt.) Dus onder het gegeven dat an+1 > an, te bewijzen an+2 > an+1
n+2:
an+2 =wortel(1+2an+1) > wortel(1+2an)=an+1 Klaar!


dit kan omgeschreven worden tot
wortel(1+2an) > an
=
an+1 > an Dit is je gegeven

Graag je commentaar.
Wat moet je verder bewijzen?


Ik snap niet zo goed wat je bedoeld te zeggen. Wat precies klopt niet wat ik gedaan heb?

Ik zie niet helemaal wat je doet, maar waarom niet zo?
LaTeX


LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX


Dit lijkt inderdaad wel te kloppen!

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 25 februari 2012 - 15:33

[quote name='Nesta' date='25 February 2012, 13:48' post='720600']
Ik snap niet zo goed wat je bedoeld te zeggen. Wat precies klopt niet wat ik gedaan heb?

/quote]
Ik heb niet gezegd dat er iets niet klopte. Ik miste de logische stappen.
Je gegeven: ...
Wat wil je aantonen: ...

Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...
Je zou moeten eindigen met: dus blijkt a_(n+2)>a_(n+1)

En Evilbro doet het je voor.

#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 februari 2012 - 23:38

Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...

Zo merkwaardig vind ik dat niet. Als je begint met het te bewijzen en je kunt een logisch pad vinden naar hetgeen is gegeven dan is dat natuurlijk ook prima.

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 26 februari 2012 - 10:24

@Nesta.

Start eens met a_0=3, a_1= ... , enz.
Wat merk je op?
Kan je dat bewijzen?

#12

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 februari 2012 - 10:54

Ik heb niet gezegd dat er iets niet klopte. Ik miste de logische stappen.
Je gegeven: ...
Wat wil je aantonen: ...

Je eindigt met je gegeven, dat is merkwaardig ...
Je zou moeten eindigen met: dus blijkt a_(n+2)>a_(n+1)

En Evilbro doet het je voor.


Ik mag de stelling dat an+1 > an gebruiken bij het bewijzen van an+2 > an+1. Dus als ik het dan naar de stelling terug kan leiden moet het wel kloppen.
Dus

Mijn gegeven: an+1 > an
Te bewijzen: an+2 > an+1

Het te bewijzen blijkt hetzelfde te zijn als het gegeven, dus dan moet het wel kloppen.

Ik dacht alleen dat het misschien dubbel was wat ik deed, daarom heb ik het ook hier gepost.

Overigens zou ik inderdaad moeten eindigen met "dus an+2 > an+1", ik was een beetje slordig.

Toch vind ik de manier van Evilbro mooier :)

#13

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 februari 2012 - 11:06

Overigens zou ik inderdaad moeten eindigen met "dus an+2 > an+1",

Toch vind ik de manier van Evilbro mooier :)

Evilbro eindigt toch ook zo? Overigens verschillen jouw oplossing en zijn oplossing niet zo heel erg veel van elkaar, hoor. Je kunt alleen beargumenteren dat het logischer is om te beginnen met je gegeven en naar het te bewijzen toe te werken. Maar het te bewijzen herleiden tot het gegeven, is ook goed. Alleen moet je je bij elke stap er goed bewust van zijn waarom je hem mag zetten. Bijvoorbeeld: waarom mag je uit a>b, besluiten dat :) (a) > :) (b)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#14

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 februari 2012 - 11:38

LaTeX

LaTeX

LaTeX

we weten dat:

LaTeX omdat a>b>0

maar dan moet er gelden:

LaTeX
Quitters never win and winners never quit.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures