Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 29-02-'12, 12:19

Bouwknudde

Berichten: 37

Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Hallo iedereen,

Na een aantal keer te hebben geprobeerd kom ik niet uit het berekenen van de volgende limiet:
\( \lim \frac{\ln{(1-x)}}{x} \)
(limiet gaat naar 0)

De eerste stap die ik zet, is het uit elkaar halen van de breuk door de teller te vermenigvuldigen met het omgekeerde van de noemer:
\( \frac{1}{x} * \ln{(1-x)} \)
Ik weet niet wat de volgende stap is (en of dit eigenlijk wel goed is). Omschrijven van ln heb ik geprobeerd, maar ik wist niet waar ik moest beginnen en waar ik naartoe moest gaan. Hopelijk kan iemand me helpen.
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 13:25

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Een mogelijkheid:
\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln{(1-x)}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln{(1-x)} - 0}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln{(1-x)} - \ln{1}}{x}\)
En bekijk dan eens de definitie van de afgeleide.
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 17:48

Bouwknudde

Berichten: 37

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Bedankt, omschrijven naar
\(\ln{1}\)
snap ik. Dan herken ik een zekere vorm van een afgeleide in de nieuwe functie, want er zijn twee functies in de teller die van elkaar verschillen, en dit zekere verschil is weer in de noemer te vinden.

Maar wat heb ik hier dan aan? Ik moet toch op de een of andere manier de x uit de noemer zien te halen, omdat je niet mag delen door 0?
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 18:04

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

\(f'(x_0) = \frac{df}{dx}(x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)
Vul in met:
\(f(x) = \ln{(1-x)}\)
\(x_0 = 0\)
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 18:06

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Schrijf de definitie van die afgeleide (dus met de limiet) eens op ...
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 19:45

Bouwknudde

Berichten: 37

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

@EvilBro en Safe: Ik vind het allemaal logisch wat er in die formules gebeurt, maar ik kom niet verder dan dat. Je houdt nu toch gewoon een getal in de noemer die 0 benadert? Wat is nou de meerwaarde van die formule, waarom zou dit nou juist tot de oplossing kunnen leiden?
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 20:40

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Vul in: f(x)=ln(x) ...
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 21:13

Fruitschaal

Gebruikersavatar
Berichten: 524

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Bouwknudde schreef:Hallo iedereen,

Na een aantal keer te hebben geprobeerd kom ik niet uit het berekenen van de volgende limiet:
\( \lim \frac{\ln{(1-x)}}{x} \)
(limiet gaat naar 0)

De eerste stap die ik zet, is het uit elkaar halen van de breuk door de teller te vermenigvuldigen met het omgekeerde van de noemer:
\( \frac{1}{x} * \ln{(1-x)} \)
Ik weet niet wat de volgende stap is (en of dit eigenlijk wel goed is). Omschrijven van ln heb ik geprobeerd, maar ik wist niet waar ik moest beginnen en waar ik naartoe moest gaan. Hopelijk kan iemand me helpen.
Ben je bekend met de regel van l'Hopital?
Omhoog

Bericht 29-02-'12, 22:55

aadkr

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 6.590

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

\(\lim_{x\to 0}\ln (1-x)^{1/x} \)
\(\ln \lim_{x\to 0}(1-x)^{1/x} \)
Stel: y=-x
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 08:13

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Je houdt nu toch gewoon een getal in de noemer die 0 benadert?
Nee...
\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln{(1-x)}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln{(1-x)} - 0}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln{(1-x)} - \ln{1}}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln{(1-(0+x))} - \ln{(1-0)}}{x} = \frac{d \ln(1-x)}{dx}(0)\)
Ofwel, je kan de afgeleide bepalen van de functie \(\ln{(1-x)}\) en daarmee kun je dus de waarde van de limiet bepalen.
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 10:21

Bouwknudde

Berichten: 37

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Iedereen bedankt voor de uitleg.

@Fruitschaal: Nee, die regel ken ik niet en volgens mij is het ook niet de bedoeling dat ik die toepas. Volgens mij moet ik puur aan de hand van logica en redeneringen bij de oplossing komen. In het boek komt deze namelijk ook niet voor.

@aadkr: De breuk schrijf je om door een macht te gebruiken. Dat is duidelijk. Dan zet je de ln voor de limiet, omdat dit in feite niets verandert aan de limiet. Is dit juist wat ik zeg? Vervolgens zou ik de -x moeten vervangen door y. Zou dit dan een tijdelijke vereenvoudiging zijn die de weg naar de oplossing gemakkelijker maakt?

@EvilBro: Dus dan zou de limiet x=1 zijn, omdat je niet de natuurlijke logaritme van 0 kunt nemen?
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 10:42

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Dus dan zou de limiet x=1 zijn
Wat is de afgeleide van \(\ln{(1-x)}\)?
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 11:06

Bouwknudde

Berichten: 37

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Ik zou zeggen:
\(\frac{-1}{1-x}\)
Als je dan een 0 bij de x invult krijg je wel een uitkomst, namelijk -1.

Dan zou de limiet -1 zijn, wat volgens het antwoordenboekje ook klopt. Maar ik begrijp totaal niet waarom de afgeleide hierbij gebruikt moet worden?

Is het een regel dat de limiet van de oorspronkelijke functie altijd hetzelfde blijft in de afgeleide en de integraal?
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 12:05

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Je bent het eens met het volgende:
\(f'(x_0) =\frac{df}{dx}(x_0) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}\)
Wat krijg je als je f(x)=ln(x) invult:
\(f'(x_0=1) = \frac 1 1= \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}\)
Eens ... ?

Stel nu dat je Delta x vervangt door (bv) -y, krijg je dan een limiet die 'lijkt' op jouw limiet in de eerste post?
Omhoog

Bericht 01-03-'12, 14:00

Bouwknudde

Berichten: 37

Re: Limiet van een natuurlijke logaritme berekenen

Ja, het eerste is gewoon de definitie van de afgeleide. Dan ga je de afgeleide van f(x)=ln(x) bekijken, ook allemaal helder. Tot slot vervang je Delta x door -y, dit geeft:
\(f'(x_0=1) = \lim_{-y \rightarrow 0} \frac{\ln(1 -y) - f(1)}{-y} = \lim_{-y \rightarrow 0} \frac{\ln(1 -y)}{-y} \)
En hoe nu verder? Ik zie dat er in de teller een 0 bij is gekomen (dus geen verandering) en de noemer is nu een negatieve variabele. Maar waar zou dit naar moeten leiden?

Ik herken dus enigszins de oorspronkelijke formule hierin. Het enige verschil is dat er een -y op de plek van de x staat in de noemer. En hoe nu verder?
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”