Springen naar inhoud

Vandermonde matrix niet-singulier


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 maart 2012 - 15:05

Hallo,
ik moet bewijzen dat de (s x s) Vandermondematix niet-singulier is.
Hierbij staat op plek ij: (c_j)^(i-1)

Nu moet ik van het volgende gebruik maken:
- De getransponeerde matrix
- De interpolerende P(x) = SOM (j=1 tm s) van : (a_j * x^(j-1)) (Sorry voor deze notatie, met latex werkte het niet op de een of andere manier) zodanig dat P(c_j) = f_j. (1 kleiner gelijk j kleiner gelijk s)

met c_i =/ c_j als i=/j
Er is niet verder meer gegeven van wat f_j is.

Ik kan hier eigenlijk vrij weinig mee. Het enige wat ik weet is dat je om aan te tonen dat een matrix niet-singulier is, moet laten zien dat de det=/ 0 is (of dat de matrix dus inverteerbaar is).
Maar hoe dat hier zou moeten, en met de dingen die ik moet gebruiken? Iemand enig idee?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 04 maart 2012 - 15:31

Er zijn duizenden manieren om zo'n zaken te bewijzen. Wat je met de getransponeerde moet, weet ik niet zo meteen. Maar je weet dat al je c_i's verschillend zijn van elkaar. Stel nu eens dat je matrix singulier is. Kijk nu eens naar de kolommen. Dan bestaan er a_i zodat:
LaTeX
LaTeX
....
LaTeX

Kijk nu eens naar de polynoom: LaTeX . Wat kan je daarover zeggen?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 11:48

Er zijn duizenden manieren om zo'n zaken te bewijzen. Wat je met de getransponeerde moet, weet ik niet zo meteen. Maar je weet dat al je c_i's verschillend zijn van elkaar. Stel nu eens dat je matrix singulier is. Kijk nu eens naar de kolommen. Dan bestaan er a_i zodat:
LaTeX


LaTeX
....
LaTeX

Kijk nu eens naar de polynoom: LaTeX . Wat kan je daarover zeggen?

Hoe kom je precies aan al die vergelijkingen? Dat zie ik nog niet echt.
Als antwoord op je vraag: c_i (voor i is 1 tm n) zijn nulpunten van dat polynoom...

#4

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 maart 2012 - 13:39

Die vergelijkingen zjin gewoon de matrix uitgeschreven in variabelen c.
Quitters never win and winners never quit.

#5

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 14:43

Die vergelijkingen zjin gewoon de matrix uitgeschreven in variabelen c.

Sorry, dat begrijp ik niet helemaal geloof ik..
Bovendien, dat polynoom heeft n nulpunten, volgens al deze vergelijkingen. Maar hij is van graad n-1.. dan moet er toch zeker twee van al die c_j's gelijk zijn aan elkaar? Terwijl er was aangenomen dat ze allemaal verschillend zijn. Of moet dit tot een tegenspraak leiden?

#6

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 15:06

Sorry, dat begrijp ik niet helemaal geloof ik..
Bovendien, dat polynoom heeft n nulpunten, volgens al deze vergelijkingen. Maar hij is van graad n-1.. dan moet er toch zeker twee van al die c_j's gelijk zijn aan elkaar? Terwijl er was aangenomen dat ze allemaal verschillend zijn. Of moet dit tot een tegenspraak leiden?

Ik geloof dat ik het al wat beter begrijp. Ik kan nu aantonen, dat als dat stelsel vergelijkingen een oplossing heeft (ongelijk 0) dat er dan inderdaad een Ci=Cj voor i=/j. (tegenspraak)
Alleen hierbij maak ik gebruik van dat a_(n-1) niet nul is... Mag ik zulke aannames zomaar maken?

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 10 maart 2012 - 11:29

Normaal gezien heb je het niet nodig dat a_(n-1) niet 0 is... Je gebruikt wťl dat niet ŗlle a's 0 kunnen zijn. Voor de rest gebruik je eigenlijk niets. Je weet immers al genoeg: de graad is hoogstens n-1. Of die nu n-2, n-10 of n-1 is, maakt niets uit eigenlijk (voor de gezochte tegenspraak).

Kun je je argument dan aanpassen (en eens volledig geven)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2012 - 15:03

Normaal gezien heb je het niet nodig dat a_(n-1) niet 0 is... Je gebruikt wťl dat niet ŗlle a's 0 kunnen zijn. Voor de rest gebruik je eigenlijk niets. Je weet immers al genoeg: de graad is hoogstens n-1. Of die nu n-2, n-10 of n-1 is, maakt niets uit eigenlijk (voor de gezochte tegenspraak).

Kun je je argument dan aanpassen (en eens volledig geven)?

Even kijken, ik had nu: Als die getransponeerde matrix een oplossing = 0 heeft die van de vorm (a_1, ..., a_s) is (ongelijk 0) dan heeft mijn P(x) = 0 als oplossingen x= c_1 tm x=c_s. Maar doordat hij van graad s-1 is, moet er een c_i gelijk zijn aan een c_j terwijl i=/ j. Tegenspraak, dus de oplossing is 0, dus de matrix is niet-singulier.
Alleen, wat als hij niet van de vorm (a_1, ... , a_s) is? Maar bijvoorbeeld (y_1,..y_s)? dan zie ik het niet. Die met die a's kwam uit doordat dat de coŽfficiŽnten waren in mijn P...

#9

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 12 maart 2012 - 19:57

Je maakt het veel te ingewikkeld. Ik zal je geven wat ik in gedachte had:

Zoals eerder al gezegd. We weten dat er a_i bestaan zodat:
LaTeX
LaTeX
....
LaTeX
Akkoord?

Kijk nu naar de vergelijking: LaTeX . We zien dan dat deze (veelterm)vergelijking n oplossingen heeft; namelijk c1, ..., cn. Maar we weten ook dat een polynoom nooit meer nulpunten kan hebben dan de graad van de veelterm. Deze graad is hier n-1. Dus tegenspraak. Bijgevolg niet-singulier.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#10

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 maart 2012 - 14:12

Je maakt het veel te ingewikkeld. Ik zal je geven wat ik in gedachte had:

Zoals eerder al gezegd. We weten dat er a_i bestaan zodat:
LaTeX


LaTeX
....
LaTeX
Akkoord?

Kijk nu naar de vergelijking: LaTeX . We zien dan dat deze (veelterm)vergelijking n oplossingen heeft; namelijk c1, ..., cn. Maar we weten ook dat een polynoom nooit meer nulpunten kan hebben dan de graad van de veelterm. Deze graad is hier n-1. Dus tegenspraak. Bijgevolg niet-singulier.

Ik begrijp dan niet helemaal hoe je aan die a_i's in de eerste n vergelijkingen komt...
Ik snap dat die er moeten zijn als je wilt dat je matrix singulier is. Maar de waarden van deze a_i's hoeven toch niet dezelfde te zijn als die in LaTeX ?
Want naar mijn idee moet dat wel gelden als de c_i 's de oplossing van dit polynoom zijn...

#11

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 maart 2012 - 21:08

Ik begrijp dan niet helemaal hoe je aan die a_i's in de eerste n vergelijkingen komt...
Ik snap dat die er moeten zijn als je wilt dat je matrix singulier is. Maar de waarden van deze a_i's hoeven toch niet dezelfde te zijn als die in LaTeX

?
Want naar mijn idee moet dat wel gelden als de c_i 's de oplossing van dit polynoom zijn...

Maar je kiest je polynoom nu eenmaal zodat dat werkt... Dat is toch gewoon hetzelfde als in een concrete situatie. Stel dat er geldt:
a + a≤ + 5 a≥ = 0. Dan is a een nulpunt van de polynoom x + x≤ + 5x≥. Alleen zijn je 1'en en 5'en nu symbooltjes.

Merk wel de volgorde op hŤ! Ik zeg eerst: stel dat er a_i bestaan zodat *dat stelsel* geldt. Bekijk dan de polynoom, gedefinieerd met die a_i.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#12

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 maart 2012 - 09:16

Maar je kiest je polynoom nu eenmaal zodat dat werkt... Dat is toch gewoon hetzelfde als in een concrete situatie. Stel dat er geldt:
a + a≤ + 5 a≥ = 0. Dan is a een nulpunt van de polynoom x + x≤ + 5x≥. Alleen zijn je 1'en en 5'en nu symbooltjes.

Merk wel de volgorde op hŤ! Ik zeg eerst: stel dat er a_i bestaan zodat *dat stelsel* geldt. Bekijk dan de polynoom, gedefinieerd met die a_i.

Hmm okť, maar hoe zou je zoiets kunnen doen dan als je die a_i 'tjes een andere naam geeft in dat stelsel? Sorry, maar ik geloof dat ik het ťcht even niet zie..

#13

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 maart 2012 - 10:13

Drieske levert een bewijs uit het ongerijmde. Hij zegt: stel eens dat dat Vandermonde matrix M singulier is. Dan bestaat er een kolommatrix a verschillend van 0 waarvoor geldt
LaTeX ,
of expliciet:
LaTeX

Dus moeten er LaTeX , niet alle 0, bestaan waarvoor de vergelijkingen die Drieske opschreef gelden. Daaruit vind je dan de tegenstrijdigheid -n nulpunten voor een veelterm van hoogstens (n-1)de orde-.

#14

Vogeltjes

    Vogeltjes


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 maart 2012 - 10:49

Drieske levert een bewijs uit het ongerijmde. Hij zegt: stel eens dat dat Vandermonde matrix M singulier is. Dan bestaat er een kolommatrix a verschillend van 0 waarvoor geldt
LaTeX

,
of expliciet:
LaTeX

Dus moeten er LaTeX , niet alle 0, bestaan waarvoor de vergelijkingen die Drieske opschreef gelden. Daaruit vind je dan de tegenstrijdigheid -n nulpunten voor een veelterm van hoogstens (n-1)de orde-.

Wat ik bedoel, is zegmaar dat deze a_i's dezelfde zijn als die in de veelterm en dat het daarom een tegenspraak oplevert. Zo vat ik het op. Maar wat nou als die a_i's niet dezelfde zijn als die in de veelterm, naar mijn idee zijn het dan niet de nulpunten van de veelterm...

#15

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 maart 2012 - 11:09

Maar je kiest de gelijkheden niet... Er staan n gelijkheden, met a_i vast. Je hebt deze afgeleid uit de onderstelling dat de Vandermonde matrix singulier is. Deze n vergelijkingen drukken uit dat c_1, c_2, ..., c_n nulpunten zijn van LaTeX , nogmaals met a_i vast. Dat is geen keuze ofzo, het is gewoon een vaststelling.

Veranderd door eendavid, 15 maart 2012 - 11:13






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures