Hallo,
ik moet bewijzen dat de (s x s) Vandermondematix niet-singulier is.
Hierbij staat op plek ij: (c_j)^(i-1)
Nu moet ik van het volgende gebruik maken:
- De getransponeerde matrix
- De interpolerende P(x) = SOM (j=1 tm s) van : (a_j * x^(j-1)) (Sorry voor deze notatie, met latex werkte het niet op de een of andere manier) zodanig dat P(c_j) = f_j. (1 kleiner gelijk j kleiner gelijk s)
met c_i =/ c_j als i=/j
Er is niet verder meer gegeven van wat f_j is.
Ik kan hier eigenlijk vrij weinig mee. Het enige wat ik weet is dat je om aan te tonen dat een matrix niet-singulier is, moet laten zien dat de det=/ 0 is (of dat de matrix dus inverteerbaar is).
Maar hoe dat hier zou moeten, en met de dingen die ik moet gebruiken? Iemand enig idee?
Laatste berichten
-
00:49
Ervaringen met "herontdekkingen" 11
-
00:37
Rotatie van het heelal 24
-
21:28
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
17:59
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
17:28
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Vandermonde matrix niet-singulier
-
- Berichten: 10.179
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Er zijn duizenden manieren om zo'n zaken te bewijzen. Wat je met de getransponeerde moet, weet ik niet zo meteen. Maar je weet dat al je c_i's verschillend zijn van elkaar. Stel nu eens dat je matrix singulier is. Kijk nu eens naar de kolommen. Dan bestaan er a_i zodat:
Kijk nu eens naar de polynoom:
\(a_0 + a_1 c_1 + \cdots + a_{n-1} c_1^{n-1} = 0\)
\(a_0 + a_1 c_2 + \cdots + a_{n-1} c_2^{n-1} = 0\)
....\(a_0 + a_1 c_n + \cdots + a_{n-1} c_n^{n-1} = 0\)
Kijk nu eens naar de polynoom:
\(a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} = 0\)
. Wat kan je daarover zeggen?Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 102
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Hoe kom je precies aan al die vergelijkingen? Dat zie ik nog niet echt.Drieske schreef:Er zijn duizenden manieren om zo'n zaken te bewijzen. Wat je met de getransponeerde moet, weet ik niet zo meteen. Maar je weet dat al je c_i's verschillend zijn van elkaar. Stel nu eens dat je matrix singulier is. Kijk nu eens naar de kolommen. Dan bestaan er a_i zodat:
\(a_0 + a_1 c_1 + \cdots + a_{n-1} c_1^{n-1} = 0\)\(a_0 + a_1 c_2 + \cdots + a_{n-1} c_2^{n-1} = 0\)....
\(a_0 + a_1 c_n + \cdots + a_{n-1} c_n^{n-1} = 0\)
Kijk nu eens naar de polynoom:\(a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} = 0\). Wat kan je daarover zeggen?
Als antwoord op je vraag: c_i (voor i is 1 tm n) zijn nulpunten van dat polynoom...
-
- Berichten: 4.246
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Die vergelijkingen zjin gewoon de matrix uitgeschreven in variabelen c.
Quitters never win and winners never quit.
-
- Berichten: 102
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Sorry, dat begrijp ik niet helemaal geloof ik..Die vergelijkingen zjin gewoon de matrix uitgeschreven in variabelen c.
Bovendien, dat polynoom heeft n nulpunten, volgens al deze vergelijkingen. Maar hij is van graad n-1.. dan moet er toch zeker twee van al die c_j's gelijk zijn aan elkaar? Terwijl er was aangenomen dat ze allemaal verschillend zijn. Of moet dit tot een tegenspraak leiden?
-
- Berichten: 102
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Ik geloof dat ik het al wat beter begrijp. Ik kan nu aantonen, dat als dat stelsel vergelijkingen een oplossing heeft (ongelijk 0) dat er dan inderdaad een Ci=Cj voor i=/j. (tegenspraak)Vogeltjes schreef:Sorry, dat begrijp ik niet helemaal geloof ik..
Bovendien, dat polynoom heeft n nulpunten, volgens al deze vergelijkingen. Maar hij is van graad n-1.. dan moet er toch zeker twee van al die c_j's gelijk zijn aan elkaar? Terwijl er was aangenomen dat ze allemaal verschillend zijn. Of moet dit tot een tegenspraak leiden?
Alleen hierbij maak ik gebruik van dat a_(n-1) niet nul is... Mag ik zulke aannames zomaar maken?
-
- Berichten: 10.179
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Normaal gezien heb je het niet nodig dat a_(n-1) niet 0 is... Je gebruikt wél dat niet àlle a's 0 kunnen zijn. Voor de rest gebruik je eigenlijk niets. Je weet immers al genoeg: de graad is hoogstens n-1. Of die nu n-2, n-10 of n-1 is, maakt niets uit eigenlijk (voor de gezochte tegenspraak).
Kun je je argument dan aanpassen (en eens volledig geven)?
Kun je je argument dan aanpassen (en eens volledig geven)?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 102
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Even kijken, ik had nu: Als die getransponeerde matrix een oplossing = 0 heeft die van de vorm (a_1, ..., a_s) is (ongelijk 0) dan heeft mijn P(x) = 0 als oplossingen x= c_1 tm x=c_s. Maar doordat hij van graad s-1 is, moet er een c_i gelijk zijn aan een c_j terwijl i=/ j. Tegenspraak, dus de oplossing is 0, dus de matrix is niet-singulier.Drieske schreef:Normaal gezien heb je het niet nodig dat a_(n-1) niet 0 is... Je gebruikt wél dat niet àlle a's 0 kunnen zijn. Voor de rest gebruik je eigenlijk niets. Je weet immers al genoeg: de graad is hoogstens n-1. Of die nu n-2, n-10 of n-1 is, maakt niets uit eigenlijk (voor de gezochte tegenspraak).
Kun je je argument dan aanpassen (en eens volledig geven)?
Alleen, wat als hij niet van de vorm (a_1, ... , a_s) is? Maar bijvoorbeeld (y_1,..y_s)? dan zie ik het niet. Die met die a's kwam uit doordat dat de coëfficiënten waren in mijn P...
-
- Berichten: 10.179
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Je maakt het veel te ingewikkeld. Ik zal je geven wat ik in gedachte had:
Zoals eerder al gezegd. We weten dat er a_i bestaan zodat:
Kijk nu naar de vergelijking:
Zoals eerder al gezegd. We weten dat er a_i bestaan zodat:
\(a_0 + a_1 c_1 + \cdots + a_{n-1} c_1^{n-1} = 0\)
\(a_0 + a_1 c_2 + \cdots + a_{n-1} c_2^{n-1} = 0\)
....\(a_0 + a_1 c_n + \cdots + a_{n-1} c_n^{n-1} = 0\)
Akkoord?Kijk nu naar de vergelijking:
\(a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} = 0\)
. We zien dan dat deze (veelterm)vergelijking n oplossingen heeft; namelijk c1, ..., cn. Maar we weten ook dat een polynoom nooit meer nulpunten kan hebben dan de graad van de veelterm. Deze graad is hier n-1. Dus tegenspraak. Bijgevolg niet-singulier.Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 102
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Ik begrijp dan niet helemaal hoe je aan die a_i's in de eerste n vergelijkingen komt...Drieske schreef:Je maakt het veel te ingewikkeld. Ik zal je geven wat ik in gedachte had:
Zoals eerder al gezegd. We weten dat er a_i bestaan zodat:
\(a_0 + a_1 c_1 + \cdots + a_{n-1} c_1^{n-1} = 0\)\(a_0 + a_1 c_2 + \cdots + a_{n-1} c_2^{n-1} = 0\)....
\(a_0 + a_1 c_n + \cdots + a_{n-1} c_n^{n-1} = 0\)Akkoord?
Kijk nu naar de vergelijking:\(a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} = 0\). We zien dan dat deze (veelterm)vergelijking n oplossingen heeft; namelijk c1, ..., cn. Maar we weten ook dat een polynoom nooit meer nulpunten kan hebben dan de graad van de veelterm. Deze graad is hier n-1. Dus tegenspraak. Bijgevolg niet-singulier.
Ik snap dat die er moeten zijn als je wilt dat je matrix singulier is. Maar de waarden van deze a_i's hoeven toch niet dezelfde te zijn als die in
\(a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} = 0\)
?Want naar mijn idee moet dat wel gelden als de c_i 's de oplossing van dit polynoom zijn...
-
- Berichten: 10.179
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Maar je kiest je polynoom nu eenmaal zodat dat werkt... Dat is toch gewoon hetzelfde als in een concrete situatie. Stel dat er geldt:Vogeltjes schreef:Ik begrijp dan niet helemaal hoe je aan die a_i's in de eerste n vergelijkingen komt...
Ik snap dat die er moeten zijn als je wilt dat je matrix singulier is. Maar de waarden van deze a_i's hoeven toch niet dezelfde te zijn als die in\(a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1} = 0\)?
Want naar mijn idee moet dat wel gelden als de c_i 's de oplossing van dit polynoom zijn...
a + a² + 5 a³ = 0. Dan is a een nulpunt van de polynoom x + x² + 5x³. Alleen zijn je 1'en en 5'en nu symbooltjes.
Merk wel de volgorde op hè! Ik zeg eerst: stel dat er a_i bestaan zodat *dat stelsel* geldt. Bekijk dan de polynoom, gedefinieerd met die a_i.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.
-
- Berichten: 102
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Hmm oké, maar hoe zou je zoiets kunnen doen dan als je die a_i 'tjes een andere naam geeft in dat stelsel? Sorry, maar ik geloof dat ik het écht even niet zie..Drieske schreef:Maar je kiest je polynoom nu eenmaal zodat dat werkt... Dat is toch gewoon hetzelfde als in een concrete situatie. Stel dat er geldt:
a + a² + 5 a³ = 0. Dan is a een nulpunt van de polynoom x + x² + 5x³. Alleen zijn je 1'en en 5'en nu symbooltjes.
Merk wel de volgorde op hè! Ik zeg eerst: stel dat er a_i bestaan zodat *dat stelsel* geldt. Bekijk dan de polynoom, gedefinieerd met die a_i.
-
- Berichten: 3.751
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Drieske levert een bewijs uit het ongerijmde. Hij zegt: stel eens dat dat Vandermonde matrix M singulier is. Dan bestaat er een kolommatrix a verschillend van 0 waarvoor geldt
of expliciet:
Dus moeten er
\(M\cdot a=0\)
,of expliciet:
\(\left(\begin{matrix}1 & c_1 & ... & c_1^{n-1}\\1 & c_2 & ... & c_2^{n-1}\\... & ... & ... & ...\\1 & c_n & ... & c_n^{n-1}\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}a_0 \\ a_1 \\ ... \\ a_{n-1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ ... \\ 0\end{matrix}\right).\)
Dus moeten er
\(a_0,a_1,...,a_{n-1}\)
, niet alle 0, bestaan waarvoor de vergelijkingen die Drieske opschreef gelden. Daaruit vind je dan de tegenstrijdigheid -n nulpunten voor een veelterm van hoogstens (n-1)de orde-.-
- Berichten: 102
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Wat ik bedoel, is zegmaar dat deze a_i's dezelfde zijn als die in de veelterm en dat het daarom een tegenspraak oplevert. Zo vat ik het op. Maar wat nou als die a_i's niet dezelfde zijn als die in de veelterm, naar mijn idee zijn het dan niet de nulpunten van de veelterm...eendavid schreef:Drieske levert een bewijs uit het ongerijmde. Hij zegt: stel eens dat dat Vandermonde matrix M singulier is. Dan bestaat er een kolommatrix a verschillend van 0 waarvoor geldt
\(M\cdot a=0\),
of expliciet:
\(\left(\begin{matrix}1 & c_1 & ... & c_1^{n-1}\\1 & c_2 & ... & c_2^{n-1}\\... & ... & ... & ...\\1 & c_n & ... & c_n^{n-1}\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}a_0 \\ a_1 \\ ... \\ a_{n-1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 \\ 0 \\ ... \\ 0\end{matrix}\right).\)
Dus moeten er\(a_0,a_1,...,a_{n-1}\), niet alle 0, bestaan waarvoor de vergelijkingen die Drieske opschreef gelden. Daaruit vind je dan de tegenstrijdigheid -n nulpunten voor een veelterm van hoogstens (n-1)de orde-.
-
- Berichten: 3.751
Re: Vandermonde matrix niet-singulier
Maar je kiest de gelijkheden niet... Er staan n gelijkheden, met a_i vast. Je hebt deze afgeleid uit de onderstelling dat de Vandermonde matrix singulier is. Deze n vergelijkingen drukken uit dat c_1, c_2, ..., c_n nulpunten zijn van
\(p(x)=a_0+a_1x+...+a_{n-1}x^{n-1}\)
, nogmaals met a_i vast. Dat is geen keuze ofzo, het is gewoon een vaststelling.