Bewijs cosinusregel

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.247

Bewijs cosinusregel

Hallo,

Wij zijn met wiskunde nu bezig met goniometrie (5vwo).

De cosinusregel stelt dat
\(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\)
Het bewijs hiervan wordt niet gegeven in mijn boek.

Op "cosinusregel" op Wikipedia(nl) zie ik dat de regel op twee manieren bewezen kan worden, nl. d.m.v. vectorformulering en vergelijking van oppervlakten.

Ik begrijp bijv. deze regel niet van de vectorformulering:
\(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\)
Bij de vergelijking van oppervlakten staat o.a. dit dat ik niet begrijp:

Uit de vergelijking van de oppervlakten links en rechts blijkt:
\(a^2+b^2=c^2+2ab\cos\gamma\)
[attachment=9734:Vergelij...ek_gamma.png]

Is de formule voor de oppervlakte van een parallelogram:
\(ab\cos\gamma\)
?

En geeft
\(bcos\gamma\)
dan de hoogte?

Als dat zo is begrijp ik alleen nog niet waarom die twee grijze parallellogrammen van de linkerfiguur er aan vastgeplakt zijn.

Mijn vraag is dus: kan ik een van die twee bewijzen begrijpen?

Ik zou dat graag willen, omdat wij nu 4 verdubbelingsformules, 2 somformules en 2 verschilformules moeten kennen. Het afleiden van al die formules begint met het afleiden van de verschilformule van de cosinus. Het bewijs van deze formule begint met de cosinusregel.

Vandaar dat ik graag de cosinusregel zou snappen, maar als dat te moeilijk is voor mij zal ik me er maar bij neerleggen en gaan stampen :) (de stof bedoel ik dan XD)
Bijlagen
Vergelijking_van_oppervlaktes_scherge_hoek_gamma.png
Vergelijking_van_oppervlaktes_scherge_hoek_gamma.png (8.41 KiB) 233 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 2.455

Re: Bewijs cosinusregel

aminasisic schreef:Is de formule voor de oppervlakte van een parallelogram:
\(ab\cos\gamma\)
?

Ik heb alleen hiermee gewerkt:
\(A_{parallelogram}=B*H\)
(dus geen schuine zijde gebruiken in de formule)


Er geldt
\(H = a \cos \gamma\)
. De cosinus geeft de projectie van de schuine zijde op de aanliggende zijde. (of is b de schuine zijde? afijn, je weet hopelijk wat ik bedoel)
This is weird as hell. I approve.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.247

Re: Bewijs cosinusregel

Er geldt
\(H = a \cos \gamma\)
. De cosinus geeft de projectie van de schuine zijde op de aanliggende zijde. (of is b de schuine zijde? afijn, je weet hopelijk wat ik bedoel)


Sorry, heb mijn bericht nog zitten bewerken, omdat ik daar net achterkwam :)

Maar dan begrijp ik nog steeds niet hoe ze die driehoeken, parallellogrammen en vierkanten hebben gekozen?

Gebruikersavatar
Berichten: 10.179

Re: Bewijs cosinusregel

Het is zeker mogelijk het bewijs te begrijpen. Maar bekijk hiervoor eerst eens die methode, gebruikt op Pythagoras. Eens je die begrijpt, gaat deze waarschijnlijker vlotter gaan.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.247

Re: Bewijs cosinusregel

OK, ik heb wiki doorgenomen, maar ik heb ook deze site gevonden:

http://www.pandd.demon.nl/cosregel.htm#2

Het bewijs met de scherpe hoek is te volgen (na enig opzoekwerk, heb niet alles gehad :) ), dus ik denk dat dat dan wel goed zit :)

Reageer