Springen naar inhoud

Verzamelingen algemeen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 20:36

Welke van de volgende uitspraken zijn waar ? welke zijn vals ? waarom ?

1) Elke niet-lege verzameling in N heeft een maximum ?

antwoord: Niet waar; bv. N.

2) Elke niet-lege verzameling in N heeft een minimum ?

antwoord: waar, aangezien N alleen de natuurlijke getallen bevat kan het kleinste element van eender welke
verzameling in N dus enkel 0 zijn.

3) Elke niet-lege verzameling in Z heeft een minimum ?

antwoord: Waar; bv Z.

4) Elke eindige niet-lege verzameling in R heeft een maximum (minimum) ?

antwoord: ?


Over vragen 1 -> 3 zou ik willen weten of mijn antwoorden kloppen en of ik bv. N als een verzameling in N zelf mag zien ?
Over vraag 4 zou ik willen weten wat net bedoelt wordt met een 'eindige verzameling' ?

Is bv. verzameling ]2,3[ in R eindig ? Men zou kunnen argumenteren dat deze bv naar het maximum toe blijft doorgaan met 2,99999999... en dus niet eindig is ?

Indien dit wel als een eindige verzameling in R beschouwt wordt, is het natuurlijk eenvoudig om te bewijzen dat deze geen maximum, noch miniumum, heeft.

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 maart 2012 - 20:51

Als we met een eindige verzameling bedoelen dat de verzameling een eindig aantal elementen bevat , dan is bijvoorbeeldde deelverzameling [2,3] in R een oneindige deelverzameling.

#3

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 20:55

Als we met een eindige verzameling bedoelen dat de verzameling een eindig aantal elementen bevat , dan is bijvoorbeeldde deelverzameling [2,3] in R een oneindige deelverzameling.


Dan zou dus eender welke verzameling in R een oneindige verzameling zijn ?
Dus dan kan ik via deze vraagstelling interpreteren dat ik ]2,3[ wel degelijk als een 'eindige' verzameling mag zien ?

#4

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 maart 2012 - 21:02

Bedoel je met[2,3] een deelverzameling van R die maar 2 elementen bevat ,namenlijk het getal 2 en het getal 3,
Of bedoel je met[2,3] een gesloten interval met als kleinste getal 2 en als grootste getal 3 ??

#5

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 21:07

Ik bedoel eigenlijk ]2,3[
Als deelverzameling van R waarbij het getal 2 en 3 zelf niet meer tot de verzameling behoren.

De vraag vraagt nl. specifiek naar een eindige niet-lege verzameling in R; hoe zou ik deze vraag dan
moeten interpreteren ?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Om ook terug te komen op de vorige vragen nl. 1 -> 3
Hiervoor zijn misschien de volgende antwoorden beter:

a) niet waar; bv. No ( dit is een niet-lege verzameling in N zonder maximum )

b) waar.

c) niet waar; bv. Zo ( dit is een niet-lege verzameling in Z zonder maximum )

#6

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 maart 2012 - 21:12

Elke eindige niet lege deelverzameling in R heeft uiteraard een maximum en een minimum

#7

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 maart 2012 - 21:16

Het hangt er in deze context vanaf wat jouw boek bedoelt: bedoelen ze met 'verzameling van N' een deelverzameling of mag N zelf ook. Het laatste lijkt logisch, maar dan zijn de antwoorden triviaal: de verzameling zelf is inderdaad niet naar boven begrensd. Laten we dus eens van het eerste uitgaan. Kun je dan een antwoord geven?

Je c) is trouwens in beide posts anders: zoek je een maximum of minimum?

Je interpretatie van eindige verzameling is ook volledig fout. Zoals Aadkr al aangaf: een eindige verzameling moet je kunnen opsommen op een eindige manier. Bijvoorbeeld: {1, 2} (de verzameling met de getallen 1 en 2) is eindig en bestaat uit 2 elementen. Zo is ook {1, 2, 3, ..., 70} eindig en bestaat uit 70 elementen. Zie je je fout?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#8

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 21:16

Indien we van het eerste uitgaan lijken mij de antwoorden die ik voordien gegeven heb op de eerste 3 vragen juist. nl.

a) niet waar; bv. No ( dit is een niet-lege deelverzameling in N zonder maximum )

b) waar.

c) niet waar; bv. Zo ( dit is een niet-lege deelverzameling in Z zonder minimum )

d) Waar, want zo zijn zowel [2,3] als ]2,3[ als geen eindige verzamelingen, maar wel bv {1,5,30} en deze hebben
uiteraar altijd een maximum en een minimum

Veranderd door _Wisk_, 05 maart 2012 - 21:21


#9

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 21:25

Na uw antwoord, heb ik mijn laatste antwoord nog is gewijzigd met het volgende:

Indien we van het eerste uitgaan lijken mij de antwoorden die ik voordien gegeven heb op de eerste 3 vragen juist. nl.

a) niet waar; bv. No ( dit is een niet-lege deelverzameling in N zonder maximum )

b) waar.

c) niet waar; bv. Zo ( dit is een niet-lege deelverzameling in Z zonder minimum )

d) Waar, want zo zijn zowel [2,3] als ]2,3[ geen eindige verzamelingen, maar wel bv {1,5,30} en deze hebben
uiteraar altijd een maximum en een minimum

#10

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 maart 2012 - 21:28

Ik had het nadien inderdaad gemerkt dat je een wijziging had doorgevoerd :). Ik denk dat je het idee wel beet hebt. Kun je overigens uitleggen waarom ]2,3[ geen minimum (of maximum) heeft?

Overigens is b) wel waar, maar je argumentatie kan/moet beter... Weet je waarom?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#11

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 21:56

Bewijs dat ]2,3[ geef maximum / minimum heeft

Om te bewijzen dat ]2,3[ geef maximum / minimum heeft, dat het m.a.w. open is, moeten we aantonen dat wanneer we een willekeurige a ∈ ]2,3[ kiezen, we altijd een M > o kunnen vinden zodat ]a-M, a+M[ C ]2,3[.

M = min {a-2, 3-a}

Kies nu een willekeurige b ∈ ]a-M, a+M[
dan is

b > a - M ≥ a - (a-2) = 2 EN b < a + M ≤ a + (3-a) = 3

Bijgevolg is b ∈ ]2,3[
Wat dus bewijst dat ]2,3[ open is.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Argumentatie van b:

Aangezien N de verzameling is van natuurlijke (gehele) getallen, die uiteraard enkel positief zijn, weten we dat elke deelverzameling sowieso een minimum heeft. Waarbij 0 vanzelfspreken het kleinst mogelijke minimum is.

Veranderd door _Wisk_, 05 maart 2012 - 21:58


#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 maart 2012 - 22:04

Aangezien N de verzameling is van natuurlijke (gehele) getallen, die uiteraard enkel positief zijn, weten we dat elke deelverzameling sowieso een minimum heeft. Waarbij 0 vanzelfspreken het kleinst mogelijke minimum is.

Dus 0 is een minimum van de verzameling {2, 4, 6, 8}?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 maart 2012 - 22:11

Dus 0 is een minimum van de verzameling {2, 4, 6, 8}?


Uiteraard niet, bij deze verzameling nl. {2, 4, 6, 8} is 2 het minimum.
Ik bedoelde, wat u wellicht weet (en terecht opmerkte omdat het door mij verkeerd verwoord was), dat
0 het minimum is van N; wat dus betekent dat N geen kleinere element bevat dan 0.

En dus dat aangezien N enkel uit gehele getallen bestaat elke deelverzameling van N wel een kleinste element
moet hebben.

#14

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 05 maart 2012 - 22:19

Okee. Ik zie dat je het idee wel begrijpt. Dat is natuurlijk al het belangrijkste :). Zolang je maar begrijpt dat het niet volstaat om te zeggen "0 is een ondergrens". Want dan zou in R+ plots ook elke deelverzameling een minimum hebben. Ik hoop dat je ziet dat dat niet zo is?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#15

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 maart 2012 - 22:21

Nu we toch bezig zijn.
Als we ons beperken tot de verzameling der reeele getallen, en we nemen als deelverzameling het open interval (2,3) , zie je dan kans om aan te tonen dat er in dit open interval oneindig veel van die reeele getallen zitten?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures