Ik heb voornamelijk een vraagje over integreren (terwijl het grotendeels over differentiaalrekenen gaat).
---
Bekijk het beginwaardeprobleem
\(\frac{dx}{dt} = |x|^{a/b}\)
, \(x(0) = 0\)
, waar \(a\)
en \(b\)
ondeelbare, positieve gehele getallen zijn. a) Laat zien dat er oneindig aantal oplossingen zijn als
\(a < b\)
.b) Laat zien dat er een unieke oplossing is als
\(a > b\)
.---
\(x = 0\)
is een fixed point, dus \(x(t) = 0\)
voor alle \(t\)
is sowieso een oplossing. Dus ik weet al dat ik moet aantonen dat dat de enige oplossing voor b) is.Om de andere oplossingen te vinden moet ik de variabelen splitsen en integreren:
\(\frac{dx}{dt} = |x|^{a/b}\)
\(\int \frac{dx}{|x|^{a/b}} = \int dt\)
Als die absolute waarde strepen er niet stonden, was dit simpel te vereenvoudigen tot:\(\frac{1}{1 - a/b}*x^{1 - a/b} = t + C\)
.Wolfram Alpha geeft ook geen duidelijke oplossing, dus ik zit nu vast.
Iemand die me kan helpen?
