Substitutie in eerste-orde differentiaalvergelijking

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 411

Substitutie in eerste-orde differentiaalvergelijking

De volgende eerste-orde differentiaalvergelijking is gegeven:
\(y' = \frac{1}{2x + 3y + 1}\)
de beginvoorwaarde is y(1) = 0.

Men suggereert dat ik volgende substitutie moet toepassen: z = 2x + 3y + 1.

Probleem is echter dat ik helemaal niet weet hoe hier aan te beginnen.

Als ik substitueer bekom ik dus:
\(y' = \frac{1}{z}\)
.

Ik zou hier de integraal van kunnen nemen en dan bekomen dat y = ln |z| maar dan heb ik natuurlijk geen rekening gehouden met mijn kettingregel (want z is een functie van x en y).

Ik zie helemaal niet in hoe ik hier aan kan beginnen, iemand een tip?

(De uitkomst zou trouwens de volgende moeten zijn:
\(9 e^{2y(x)} = |4x + 6y(x) + 5)|\)
)

Gebruikersavatar
Berichten: 4.312

Re: Substitutie in eerste-orde differentiaalvergelijking

Uomo Universale schreef:De volgende eerste-orde differentiaalvergelijking is gegeven:
\(y' = \frac{1}{2x + 3y + 1}\)
de beginvoorwaarde is y(1) = 0.

Men suggereert dat ik volgende substitutie moet toepassen: z = 2x + 3y + 1.

Probleem is echter dat ik helemaal niet weet hoe hier aan te beginnen.

Als ik substitueer bekom ik dus:
\(y' = \frac{1}{z}\)
.

Ik zou hier de integraal van kunnen nemen en dan bekomen dat y = ln |z| maar dan heb ik natuurlijk geen rekening gehouden met mijn kettingregel (want z is een functie van x en y).

Ik zie helemaal niet in hoe ik hier aan kan beginnen, iemand een tip?

(De uitkomst zou trouwens de volgende moeten zijn:
\(9 e^{2y(x)} = |4x + 6y(x) + 5)|\)
)
Bepaal z' lijkt me.
In de wiskunde zijn er geen Koninklijke wegen Majesteit.

Berichten: 411

Re: Substitutie in eerste-orde differentiaalvergelijking

Bepaal z' lijkt me.
Aangezien ik ook z' moest bepalen in een deelvraag die hier aan voorafging zal dit inderdaad waarschijnlijk moeten.

Als ik dit doe is: z' = 2 + 3y', waaruit
\(y' = \frac{z' - 2}{3}\)
.

Als ik nu gelijkstel met wat ik voor y' had in mijn vorige post, bekom ik in standaardvorm:
\(z' - \frac{3}{z} = 2\)
.

Dit is nu een niet-lineaire eerst-orde differentiaalvergelijking. Hiervoor heb ik in mijn cursus twee mogelijke methoden gezien om deze op te lossen: 1. via scheiding der veranderlijken. 2. als een exacte differentiaalvergelijking.

Op het eerste zicht lijkt me geen van beide methoden mogelijk. Eventueel nog een tip? (of heb ik al ergens een fout gemaakt?)

Berichten: 411

Re: Substitutie in eerste-orde differentiaalvergelijking

Ik ben er nog altijd niet geraakt. Iemand die ziet waar mijn fout zit? Of eventueel een tip heeft hoe het verder moet? Ik ben ondertussen er redelijk van overtuigd dat deze differentiaalvergelijking niet scheidbaar, noch exact is. Dus ik ga er van uit dat ik ergens eerder een fout heb gemaakt. Iemand die deze toevallig ziet?

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Substitutie in eerste-orde differentiaalvergelijking

Je hebt
\(z'-\frac3z=2\)
. Dit is equivalent met
\(\frac{zz'}{2z+3}=1\)
. Nu kan je scheiding van veranderlijken toepassen:
\(x=\int\frac{zdz}{2z+3}\)
.

Maak een laatste substitutie v=2z+3 en je broodjes zijn gebakken.

Berichten: 411

Re: Substitutie in eerste-orde differentiaalvergelijking

Waw, ongelooflijk dat ik dit niet zag.

Bedankt voor je hulp eendavid!

Reageer