Springen naar inhoud

Bewijsjes i.v.m. injectieve functies en f o g


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 maart 2012 - 21:26

Welke van de onderstaande uitspraken zijn waar en welke zijn vals ? Bewijs de ware uitspraken.

a) Als f en g injectief zijn, dan is f o g (= f na g) ook injectief.

Deze uitspraak is volgens mij waar, maar hoe bewijs ik dit ?

b) Als f o g injectief is, dan is g injectief.

Deze uitspraak is volgens mij fout:

stel
f(x) =
g(x) =
f o g =

c) Als f o g injectief is, dan is f injectief.

Deze uitspraak is volgens mij fout:

stel
f(x) = x≤ (niet injectief)
g(x) = √x (injectief)
f o g = x (injectief)

Dank bij voorbaat!

Veranderd door Jan van de Velde, 27 maart 2012 - 18:06

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 maart 2012 - 23:24

a) je intuÔtie is juist; gebruik de definitie.
b) je intuÔtie is fout, een tegenvoorbeeld zoeken heeft dus geen zin; opnieuw definitie voor een bewijs.
c) je intuÔtie klopt, maar hoe zit het met domeinen en codomeinen van je functies hier?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 26 maart 2012 - 23:31

Even aansluitend op wat TD reeds zei: als je zo'n zaken moet onderzoeken (en dat geldt heel breed), is het aangewezen om steeds te proberen de uitspraak te bewijzen. Het punt waar je vastloopt, geeft je een indicatie van waar je een tegenvoorbeeld moet zoeken. Als je uiteraard ooit vastloopt :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#4

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2012 - 09:32

Ik vermoed dat ik moet werken met:

Een functie is injectief als en slechts als:

∀ x1, x2 ∈ A: (f(x1) = f(x2)) => (x1 = x2)



c) Als f o g injectief is, dan is f injectief.

stel
f(x) = x≤ (niet injectief)
g(x) = √x (injectief)
f o g = x (injectief)

Hier heb ik ongeveer hetzelfde probleem, het domein van g(x) is enkel R+. Wanneer ik dan als domein voor
x≤ ook enkel R+ neem, is deze eigenlijk ook injectief; en heb ik dus geen geldig voorbeeld bedacht ?

Veranderd door Biesmansss, 27 maart 2012 - 09:39

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 maart 2012 - 09:48

Een functie is injectief als en slechts als:

∀ x1, x2 ∈ A: (f(x1) = f(x2)) => (x1 = x2)

Daar kan je mee werken ja.


c) Als f o g injectief is, dan is f injectief.

stel
f(x) = x≤ (niet injectief)
g(x) = √x (injectief)
f o g = x (injectief)

Hier heb ik ongeveer hetzelfde probleem, het domein van g(x) is enkel R+. Wanneer ik dan als domein voor
x≤ ook enkel R+ neem, is deze eigenlijk ook injectief; en heb ik dus geen geldig voorbeeld bedacht ?

Maar er is ook nog het codomein. Neem g van R+ naar R (en niet R+) en f van R naar R (of R+), dan is f o g van R+ naar R (of R+) injectief, maar f is niet injectief (f(a) = f(-a) voor alle a in R).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2012 - 10:06

Maar er is ook nog het codomein. Neem g van R+ naar R (en niet R+) en f van R naar R (of R+), dan is f o g van R+ naar R (of R+) injectief, maar f is niet injectief (f(a) = f(-a) voor alle a in R).


Dus je neemt g(x) van R+ naar R ookal zal deze nooit een negatieve waarde bereken ?

Dus als ik werk met

Een functie is injectief als en slechts als:

∀ x1, x2 ∈ A: (f(x1) = f(x2)) => (x1 = x2) (1)


Dan zou ik beginnen met te stellen dat we twee willekeurige functies hebben waarvoor het bovenstaande geldt,
noem ze f(x) en g(x).

stel f o g = f(g(x))

A.d.h.v. (1) weten we dat wanneer we een willekeurige 'x' kiezen we hiervoor een unieke y-waarde bekomen; we
weten ook dat wanneer we deze unieke y-waarde in f(x) invoeren we hiervoor weer een unieke waarde bekomen.



Maar ik zou zeggen dat ik hiermee absoluut (nog) niets bewezen heb ? Ik heb volgens mij enkel uitgelegd hoe het
in elkaar zit ?

Veranderd door Biesmansss, 27 maart 2012 - 10:09

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 maart 2012 - 10:38

Dus je neemt g(x) van R+ naar R ookal zal deze nooit een negatieve waarde bereken ?

Het codomein kan groter zijn dan het bereik (beeld).

Dus als ik werk met

Een functie is injectief als en slechts als:

∀ x1, x2 ∈ A: (f(x1) = f(x2)) => (x1 = x2) (1)


Dan zou ik beginnen met te stellen dat we twee willekeurige functies hebben waarvoor het bovenstaande geldt,
noem ze f(x) en g(x).

stel f o g = f(g(x))

A.d.h.v. (1) weten we dat wanneer we een willekeurige 'x' kiezen we hiervoor een unieke y-waarde bekomen; we
weten ook dat wanneer we deze unieke y-waarde in f(x) invoeren we hiervoor weer een unieke waarde bekomen.

Maar ik zou zeggen dat ik hiermee absoluut (nog) niets bewezen heb ? Ik heb volgens mij enkel uitgelegd hoe het
in elkaar zit ?

Bedoel je voor opgave a? Je veronderstelt dat f en g injecties zijn en probeer dit dan te tonen voor f o g. Vertrek bv. van x en y zodat f(g(x)) = f(g(y)) en gebruik de injectiviteit van f en g om te concluderen dat x = y moet gelden; dan is ook f o g injectief.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2012 - 10:56

Een functie is injectief als en slechts als:

∀ x1, x2 ∈ A: (f(x1) = f(x2)) => (x1 = x2) (1)


Dan zou ik beginnen met te stellen dat we twee willekeurige functies hebben waarvoor het bovenstaande geldt,
noem ze f(x) en g(x).

stel f o g = f(g(x))

Indien f(g(x)) = f(g(y))

dan weten we dankzij (1) dat

g(x) = g(y)

anders zou f(x) geen injectieve functie zijn.

Wanneer g(x) = g(y) dan weten we, ook weer dankzij (1) dat

x = y

Hieruit kunnen we concluderen dat f(g(x)) enkel gelijk kan zijn aan f(g(y)) indien x gelijk is aan y; en
dus voldoet f o g aan (1).
M.a.w. f o g is dus injectief.

Zo dan ongeveer voor a ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 maart 2012 - 12:48

Inderdaad; uit injectiviteit van f volgt g(x) = g(y) en dan levert injectiviteit van g nog dat x = y, zodat ook f o g injectief is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2012 - 13:28

En hoe bewijs ik 'b' ? Ik dacht eerst aan een bewijs uit het ongerijmde, maar dan kom
ik er niet uit.
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 maart 2012 - 15:00

Ongerijmd kan werken. Neem f en g zodat f o g injectief is, maar veronderstel dat g zelf niet injectief is. Als g niet injectief is, bestaan er x en y met x ≠ y waarvoor g(x) = g(y). Laat nu f los op beide leden en gebruik de injectiviteit van f o g.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Biesmansss

    Biesmansss


  • >1k berichten
  • 1201 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2012 - 18:05

Stel dat f o g injectief is, dus deze voldoet aan:

∀ x1, x2 ∈ A: (f(x1) = f(x2)) => (x1 = x2)

Verder veronderstellen we dat g(x) niet injectief is.
Dus er bestaan een x en een y, verschillend van elkaar waarvoor g(x) = g(y)

Pas hierop f toe:

f(g(x)) = f(g(y))

Omdat f o g injectief is, moet x = y
Bijgevolg moet g wel injectief zijn.

Waardoor we een contradictie verkregen hebben met de hierboven gemaakte veronderstelling; en is
bewezen dat g(x) altijd injectief is wanneer f o g injectief is.


Dit is wat ik al had, maar toch snap ik niet helemaal hoe et komt dat we mogen veronderstellen dat door de injectiviteit van f o g 'x' gelijk moet zijn aan 'y'; Mogen we eigenlijk niet enkel verstel dat door de injectiviteit van f o g
'g(x)' gelijk moet zijn aan 'g(y)'. Wat ook zou kunnen door verschillende waardes voor x en y, indien g(x) niet injectief is. :)

Veranderd door Biesmansss, 27 maart 2012 - 18:19

The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 maart 2012 - 09:15

Dit is wat ik al had, maar toch snap ik niet helemaal hoe et komt dat we mogen veronderstellen dat door de injectiviteit van f o g 'x' gelijk moet zijn aan 'y'; Mogen we eigenlijk niet enkel verstel dat door de injectiviteit van f o g
'g(x)' gelijk moet zijn aan 'g(y)'. Wat ook zou kunnen door verschillende waardes voor x en y, indien g(x) niet injectief is. :)

Nee; uit f(g(x)) = f(g(y)) volgt g(x) = g(y) uit injectiviteit van f.
Uit injectiviteit van f o g volgt onmiddellijk x = y, f(g(x)) = f(g(y)) is immers hetzelfde als (f o g)(x) = (f o g)(y).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures