Op een ander forum ben ik al een tijdlang verwikkeld in een interessante discussie: hoe ziet het traject eruit van een relativistische kanonskogel? Met andere woorden: je schiet een kanonskogel af met een horizontale snelheid, vanaf een bepaalde hoogte. Welke baan volgt het als je dit relativistisch wil uitrekenen?
Iedereen kent het Newtoniaanse geval: de horizontale snelheid blijft constant, de kogel valt even snel als een tweede kogel die loodrecht naar beneden valt, en de kogel volgt een parabolische baan.
Maar hoe zien de relativistische vergelijkingen eruit? We veronderstellen hier dat de aarde vlak is, met een constante zwaartekracht. Ik denk ook dat hiervoor geen Algemene Relativiteit nodig is, volgens mij kan alles met speciaal-relativistische dynamica opgelost worden.
De baan van een kogel die gewoon recht naar beneden valt, is vrij eenvoudig: dat is een hyperbolische beweging. Maar het algemenere geval, wanneer er een horizontale beginsnelheid is, is veel minder duidelijk. Ik denk dat ik een oplossing heb, maar ik heb nog nergens een site of een boek gevonden waar dit ogenschijnlijk eenvoudig vraagstuk is uitgewerkt.
Dus, weet iemand hier meer over? Zijn er mensen die hier hun tanden eens willen inzetten?
Laatste berichten
-
16:33
hoektoename 14
-
15:47
Sommatie reeks 3
-
15:02
Aardlek-schakelaar 31
-
09:47
positie 3
-
08:50
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 33
-
03 mei
draadloze koptelefoon 2
-
03 mei
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 18
-
03 mei
toevallige ontmoeting 7
-
03 mei
Straatklok loopt 5 minuten voor 18
-
03 mei
Berekening (stuur)motor
-
03 mei
Voynich manuscript ontcijferd? 2
-
02 mei
Electric(al) 2
-
02 mei
prijselasticiteit elektra 3
-
02 mei
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij 1
-
02 mei
Muon 2
-
01 mei
veldsterkte 6
-
01 mei
Schroefdraad berekening 9
-
30 apr
kwikkolom 7
-
29 apr
Twee neutronen 7
-
29 apr
Engels 2
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Relativistische kanonskogel
Moderator: physicalattraction
-
- Berichten: 48
Re: Relativistische kanonskogel
Een stilstaande waarnemer op aarde. Daarna willen we 't ook bekijken vanuit een waarnemer in een trein met een constante snelheid, maar dat is voorlopig niet aan de orde.
-
- Berichten: 3.751
Re: Relativistische kanonskogel
Je kan dit probleem oplossen door de Lorentz transformatie toe te passen op de hyperbolische baan. Je hebt, met v(0)=0, in eenheden waarin c=1, dat de baan van een deeltje met constante eigenversnelling en beginsnelheid 0 gegeven wordt doorDe baan van een kogel die gewoon recht naar beneden valt, is vrij eenvoudig: dat is een hyperbolische beweging. Maar het algemenere geval, wanneer er een horizontale beginsnelheid is, is veel minder duidelijk.
\(x(t)=x_0-\frac{1}{g}+\frac1g\sqrt{1+g^2t^2}, y(t)=0, z(t)=0\)
.x is hier de verticale afstand, y en z lopen horizontaal. Bekijk dan deze baan in een lorentzgetransformeerd stelsel, bekomen door een boost met snelheid
\(-v_0\)
langs de y-as. Je bekomt dan de baan van een deeltje met beginvoorwaarde \(\vec{v}(0)=v_0\vec{e}_y\)
. De lorentztransformatie\(t'=\gamma (t+vy), x'=x, y'=\gamma(y+vt),z'=z\)
,toegepast op de baan geeft
\(x'(t')=x_0-\frac{1}{g}+\frac1g\sqrt{1+g^2(1-v_0^2)t'^2}, y'(t')=v_0 t', z'(t')=0.\)
Met andere woorden, de baan van de relativistische kogel vertoont de te verwachten eigenschappen: constante snelheid in de horizontale richting, maar de verticale beweging krijgt een dilatatiefactor die ervoor zorgt dat de snelheid steeds kleiner blijft dan c. In de meer gebruikelijke coördinaten (x horizontaal, z verticaal):
\(x(t)=v_0 t, z(t) = z_0+\frac{1}{g}\left(\sqrt{1+g^2(1-v_0^2)t^2}-1\right).\)
Het is, voor fysische overwegingen, nuttig om het volgende op te merken.
- Deze vraag is een academisch probleem. Er is geen enkele situatie mogelijk waarin een deeltje aan relativistische snelheid beweegt, en tegelijkertijd het gravitatieveld van de aarde als constant ondersteld kan worden.
- Je veronderstelt dat het bestaan van een constant gravitationeel veld gemodelleerd kan worden door een constante eigenversnelling. Ik ben niet zeker dat dit correct is.
-
- Berichten: 48
Re: Relativistische kanonskogel
Dankje, eendavid. Die redenering ben ik ergens anders ook tegengekomen, en ik stel me daar vragen, in het bijzonder over het feit dat de horizontale snelheid constant blijft. Ik heb een alternatieve denkwijze gevolgd.
\(x\)
is horizontaal, \(y\)
is verticaal.\(\begin{align}\vec{r} &= (x,y)\\\vec{w} &= (u,v) = (\dot{x},\dot{y})\\w^2 &= u^2 + v^2 = \dot{x}^2 + \dot{y}^2\\\vec{a} &= \dfrac{\text{d}\vec{w}}{\text{d}t} =(\dot{u},\dot{v}) .\end{align}\)
De beweging van een kogel met rustmassa m onder invloed van een kracht is\(\begin{align}\vec{F} &= \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\frac{m}{\sqrt{1 - w^2/c^2}}\vec{w}\right)\\&= \frac{m}{\sqrt{1 - w^2/c^2}} \frac{\text{d}\vec{w}}{\text{d}t} + \vec{w} \frac{\text{d}}{\text{d}t} \left(\frac{m}{\sqrt{1 - w^2/c^2}}\right)\\&= \frac{m}{\sqrt{1 - w^2/c^2}}\vec{a} + \frac{\vec{w}\cdot\vec{F}}{c^2}\vec{w}\end{align}\)
De versnelling van de kogel is dus\(\vec{a} = \sqrt{1 - w^2/c^2}\frac{\vec{F}}{m} - \sqrt{1 - w^2/c^2}\frac{\vec{w}}{mc^2}(\vec{w}\cdot\vec{F})\)
en die versnelling is in 't algemeen niet evenwijdig aan de kracht (dat staat ook in mijn oude cursus). De verticale zwaartekracht is nu \(\vec{F} = (0,-mg)\)
Dus we krijgen volgend stelsel:\(\left\{\begin{align}\dot{u} &= \sqrt{1 - w^2/c^2}\frac{uv}{c^2}g\\\dot{v} &= -\sqrt{1 - w^2/c^2}g + \sqrt{1 - w^2/c^2}\frac{v^2}{c^2}g\end{align}\right.\)
Met begincondities\(\begin{align}\vec{r}_0 &= (0,y_0)\\\vec{w}_0 &= (u_0,0)\end{align}\)
Eliminatie van \(\sqrt{1 - w^2/c^2}\)
levert na enige algebra\(\begin{align}u &= u_0\sqrt{1- v^2/c^2}\\v &= -c\sqrt{1 - u^2/u_0^2}\end{align}\)
en substitutie in de vgl voor \(\dot{v}\)
levert\(v = \dfrac{-cgt\sqrt{1-u_0^2/c^2}}{\sqrt{c^2 + g^2t^2(1-u_0^2/c^2)}}\)
en de verticale beweging\(y - y_0 = \dfrac{c^2}{g}\sqrt{1 - u_0^2/c^2}\left(1 - \sqrt{1 + g^2t^2/c^2}\right)\)
de horizontale snelheid is\(u = \dfrac{c\,u_0}{\sqrt{c^2 + g^2t^2(1-u_0^2/c^2)}}\)
waaruit de horizontale verplaatsing volgt:\(x = \dfrac{c\,u_0}{g\sqrt{1 - u_0^2/c^2}}\ln\left(\dfrac{gt}{c}\!\sqrt{1 - u_0^2/c^2} + \sqrt{1 + \dfrac{g^2t^2}{c^2}\!(1 - u_0^2/c^2)}\right)\)
Wat is er fout aan mijn redenering?-
- Berichten: 3.751
Re: Relativistische kanonskogel
Het verschil zit hem niet in techniciteiten, maar in het uitgangspunt. Jij onderstelt een constante kracht, daar waar in de redenering die ik gaf een constante eigenversnelling wordt ondersteld. Het hangt er natuurlijk vanaf wat je bedoelt met een 'constante zwaartekracht' en in de letterlijke zin van een constante kracht, in een geprefereerd inertiaalstelsel, is de berekening die je geeft vermoedelijk correct. Je zou inderdaad, bijvoorbeeld met behulp van een nauwkeurig ingestelde motor, ervoor kunnen zorgen dat een deeltje de baan volgt die jij beschrijft.
Maar ik hoop dat de beredenering op basis van de lorentztransformatie je ervan overtuigt dat dit niet de manier is waarop zwaartekracht werkt. Het is onmogelijk om een inertiaalstelsel uit te zonderen waarin de natuurwetten (en hier in het bijzonder de zwaartekrachtswet) een vorm aannemen die verschilt van deze in de andere inertiaalstelsels. Dus heel concreet: relativistisch gezien is F=(0,-mg) niet correct.
In de fysisch relevante interpretatie van 'constante zwaartekracht' moet je een constante eigenversnelling onderstellen. In essentie volgt dit onmiddellijk uit het equivalentieprincipe (maar je hoeft in dit constant gravitatieveld inderdaad niets te weten over algemene relativiteit en het equivalentieprincipe als je voldoende doordrongen bent van de equivalentie van inertiaalwaarnemers).
Maar ik hoop dat de beredenering op basis van de lorentztransformatie je ervan overtuigt dat dit niet de manier is waarop zwaartekracht werkt. Het is onmogelijk om een inertiaalstelsel uit te zonderen waarin de natuurwetten (en hier in het bijzonder de zwaartekrachtswet) een vorm aannemen die verschilt van deze in de andere inertiaalstelsels. Dus heel concreet: relativistisch gezien is F=(0,-mg) niet correct.
In de fysisch relevante interpretatie van 'constante zwaartekracht' moet je een constante eigenversnelling onderstellen. In essentie volgt dit onmiddellijk uit het equivalentieprincipe (maar je hoeft in dit constant gravitatieveld inderdaad niets te weten over algemene relativiteit en het equivalentieprincipe als je voldoende doordrongen bent van de equivalentie van inertiaalwaarnemers).
-
- Berichten: 48
Re: Relativistische kanonskogel
Heel interessant, dankjewel.
Ik zie ook dat in jouw afleiding het y(x)-pad (of z(x) in jouw notatie) een hyperbool is. Dat is in elk geval een stuk logischer dan hetgeen ik vond in dit artikel: http://arxiv.org/abs/gr-qc/0501023, waarin de auteur concludeert dat het traject een ellips is.
Ik zie ook dat in jouw afleiding het y(x)-pad (of z(x) in jouw notatie) een hyperbool is. Dat is in elk geval een stuk logischer dan hetgeen ik vond in dit artikel: http://arxiv.org/abs/gr-qc/0501023, waarin de auteur concludeert dat het traject een ellips is.
-
- Berichten: 3.751
Re: Relativistische kanonskogel
In dat artikel worden conventies gebruikt die enkel begrepen kunnen worden wanneer je vertrouwd bent met de Rindler wedge. Hierin wordt een congruentie van waarnemers beschouwd met verschillende acceleraties. De beschrijving van vrije deeltjes in dit coordinatenstelsel zoals gegeven in vergelijking (6) is correct.
Ik denk inderdaad dat de fysische interpretatie die in het artikel wordt gegeven niet correct is (omdat je deze coördinaten niet kan interpreteren als afstanden in het stelsel van een uniform accelererend waarnemer). Het zou bijvoorbeeld al de verkeerde conclusies geven in het geval v=0. Ik ben nog half in twijfel, omdat deze overweging het punt van het artikel volledig onderuit zou halen.
Ik denk inderdaad dat de fysische interpretatie die in het artikel wordt gegeven niet correct is (omdat je deze coördinaten niet kan interpreteren als afstanden in het stelsel van een uniform accelererend waarnemer). Het zou bijvoorbeeld al de verkeerde conclusies geven in het geval v=0. Ik ben nog half in twijfel, omdat deze overweging het punt van het artikel volledig onderuit zou halen.
