Springen naar inhoud

Bijectie in het complexe vlak


  • Log in om te kunnen reageren

#1

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2012 - 19:03

Het is gemakkelijk in te zien dat de functie f: R -> R: x |-> x≥ een bijectie is. Maar hoe onderzoek ik
of dit ook geldt voor de functie g: C -> C: x |-> x≥ ?

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 27 maart 2012 - 19:10

Wat denk je zelf? Vraag je ook af: wat betekent x≥ = 1 (bijvoorbeeld; 1 is niet belangrijk) over de complexe getallen? En ben je bekend met deze notatie?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#3

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 14:58

Persoonlijk denk ik dat x≥ in het complexe vlak ook een bijectie is, maar ik weet niet hoe ik de overgang van het reŽle naar het complexe moet maken ?
Ik ken de polaire notatie ja, maar wat heeft deze hier juist mee te maken ?

Veranderd door _Wisk_, 28 maart 2012 - 15:02


#4

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 maart 2012 - 15:12

Het zal niet bijectief zijn. x^3 = 1 heeft drie verschillende oplossingen in het complexe vlak. Het nut van de polaire notatie ligt hierin: het tot een derde macht verheffen, is de hoek verdrievoudigen en de straal tot de derde macht doen. Als je zoekt naar x'en zodat x≥ = 1, is je straal duidelijk 1. Neem dus de eenheidscirkel in het complexe vlak. Dan leveren volgende x'en allen een oplossing voor x≥ = 1: LaTeX . Zie je dit?
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#5

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 15:46

Het zal niet bijectief zijn. x^3 = 1 heeft drie verschillende oplossingen in het complexe vlak. Het nut van de polaire notatie ligt hierin: het tot een derde macht verheffen, is de hoek verdrievoudigen en de straal tot de derde macht doen. Als je zoekt naar x'en zodat x≥ = 1, is je straal duidelijk 1. Neem dus de eenheidscirkel in het complexe vlak. Dan leveren volgende x'en allen een oplossing voor x≥ = 1: LaTeX

. Zie je dit?


Ik zie nie hoe ja aan deze oplossingen met 'e' komt. Ik vind de volgende 3 oplossingen

w0 = 1

W2 = -0,5 + 0,86i

w3 = -0,5 - 0,86i

Misschien dat deze hetzelfde beteken als jij gevonden hebt ?

Indien ja, dan wilt dat gene wat we gevonden hebben gewoon zeggen dat de y-waarde '1' voor deze functie in
het complexe vlak overenkomt met de invoer van de volgende 3 x-waardes (w0, w1, W2). Waardoor we
weten dat deze functie in het complexe vlak al niet injectief is en dus ook geen bijectie kan zijn.

Veranderd door _Wisk_, 28 maart 2012 - 15:48


#6

JorisL

    JorisL


  • >250 berichten
  • 555 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 15:54

Je kan elk complex getal schrijven als LaTeX . Met arg z het argument van je getal.
In dit geval geldt: LaTeX
Verder weten we dat LaTeX en LaTeX LaTeX

Hieruit kan je vinden dat |z| = 1. Rest je nog te zoeken wanneer LaTeX .

Weet je hoe je die e-macht kan uitschrijven? Zoniet dan kan je zoeken naar de formule van Euler.

#7

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 18:12

Ik vermoed dat ik het ook op de volgende manier kan doen

1 = 1 + 0i = 1( cos 0 + i sin0 ) = 1.e^(0)

Dan geldt de volgende formule om de wortels van x≥ voor te stellen:

≥√®. e ^ ( 0 / 3 + (2n(pi)) / 3)

waarbij n staat voor welke wortel we berekenen (0, 1, 2)

hieruit krijgen we dan

LaTeX

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 maart 2012 - 18:48

Dat zijn toch de wortels die ik je al gaf? Je kunt btw ook googlen op eenheidswortels.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

_Wisk_

    _Wisk_


  • >25 berichten
  • 40 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 18:59

Ja, maar om te verifiŽren hoe je hieraan kwam.
Klopt mijn bovenstaande redenering trouwens ?

Indien ja, dan wilt dat gene wat we gevonden hebben gewoon zeggen dat de y-waarde '1' voor deze functie in
het complexe vlak overenkomt met de invoer van de volgende 3 x-waardes (w0, w1, W2). Waardoor we
weten dat deze functie in het complexe vlak al niet injectief is en dus ook geen bijectie kan zijn.






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures