Springen naar inhoud

Uniforme convergentie aantonen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2012 - 21:04

Hallo,

ik loop vast met de volgende twee vragen:

Bepaal de puntsgewijze limiet en laat ook zien of er sprake is van uniforme convergentie.

1.
fn(x) = xne-nx
op het interval I = [0,oneindig)

en

2.
fn(x) = LaTeX
op het interval I = [1,oneindig)

Bij 1. had ik beredeneerd dat, omdat x<ex, dus LaTeX <1
en dus is het puntsgewijze limiet 0 voor iedere x uit het interval.

Nu moet ik dus bewijzen dat er een n>N is, zodat |fn(x)-0|<epsilon (epsilon>0) voor iedere x uit het interval.
Nu ben ik helemaal in de war door het feit dat het interval tot oneindig loopt. Kan iemand mij op weg helpen?


Bij 2. lukt het niet om het puntsgewijze limiet te vinden. Want het limiet van n naar oneindig van fn(x) heeft in principe de vorm oneindig/oneindig. Maar l'Hopital kan ik niet toepassen omdat er geen afgeleide is van een constante (n2).

Ik dacht misschien dat ik iets kon doen met ln(oneindig) is veel kleiner dan oneindig. Maar dit kan ik niet echt aantonen en omdat "oneindig" niet echt een getal is doe ik dan vast iets wat niet mag. Dus ook hier loop ik vast...

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Axioma91

    Axioma91


  • >250 berichten
  • 264 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2012 - 21:17

Je moet bewijzen dat er een N bestaat zo dat voor alle n > N en alle x in I geldt: |fn(x) - f(x) |< epsilon. (Misschien bedoel je dit). Je redenering voor puntsgewijze convergentie lijkt me juist.
Kun je dan berederen waarom er (volgens je intuitie) sprake is van uniforme convergentie? Laat ik dat aanvullen met de vraag; heeft xe^(-x) op I een supremum?

Veranderd door Axioma91, 27 maart 2012 - 21:26


#3

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 08:36

Ik heb het onderwerp supremum nog niet gehad, maar volgens mij bedoel je daarmee of er een bovengrens is op het interval? Volgens mij is dit niet het geval.

Ik kan niet echt beredeneren over uniforme convergentie omdat ik het een moeilijk onderwerp vind. In andere opgaven met "gewone grenzen" heb je trucjes met de afgeleide en zo, hierbij weet ik gewoon niet wat ik moet doen..

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 maart 2012 - 09:46

1) De functie f(x) = x/e^x bereikt een maximum in x = 1 en dat maximum is kleiner dan, bijvoorbeeld, 1/2 (het is namelijk 1/e). Er geldt dus op heel het gegeven domein: x/e^x < 1/2 en dus ook (x/e^x)n < (1/2)n. Helpt dat?

2) Je zoekt dus

LaTeX

Je verwijst naar n≤ als een constante, maar in deze limiet is n net de variabele! Je kan x als constant beschouwen; voor eender welke x > 1 (willekeurig maar vast), is die limiet...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 11:02

De uitleg bij 1. helpt zeker! Ik heb hem door nu.

Bij 2. is het limiet dus 0. Ik was alleen in de war bij het gegeven dat x ook oneindig kan zijn, dan krijg je LaTeX , het leek mij dat je dan niet echt iets kan zeggen over het limiet.

verder kom ik hier ook niet zo ver mee..

Veranderd door Nesta, 28 maart 2012 - 11:03


#6

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 maart 2012 - 11:08

Ik was alleen in de war bij het gegeven dat x ook oneindig kan zijn, dan krijg je LaTeX

, het leek mij dat je dan niet echt iets kan zeggen over het limiet.

Daar zit je mis mee... x kan nooit oneindig zijn. Want x is steeds een willekeurig gekozen, maar vast (!) reŽel getal. Het is niet omdat er oneindig veel reŽle getallen zijn, dat je ooit 'oneindig' kan kiezen.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#7

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 11:19

Ah zo! Oke, dus het punstgewijze limiet is gewoon altijd 0. Nu moet ik alleen nog bewijzen dat hij ook uniform convergeert.

#8

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 maart 2012 - 11:40

Overigens even een nevenopmerking. Wat is LaTeX ? En LaTeX ? Want volgens mij heb je dat ook verkeerd voor :). Maar mijn punt van eerder blijft uiteraard gewoon gelden.
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#9

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 12:38

De eerste is oneindig, en de tweede min oneindig.

Kan ik dan misschien iets zeggen dat het bereik van ln(x) R is, dat het bereik van ln(x)/n2 ook R is. Er is dus geen n>N zodat ln(x)/n2 < epsilon

Ja die is er wel maar dan hangt hij af van x, en N mag alleen afhangen van epsilon.

ofzoiets..

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 maart 2012 - 12:40

Het idee is okť: voor x voldoende groot ga je boven eender welke epsilon kunnen blijven, maar om het te 'bewijzen' moet je dat nog tonen (netjes kunnen opschrijven).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Nesta

    Nesta


  • >100 berichten
  • 112 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 maart 2012 - 12:53

Dat vind ik moeilijk. Moet ik dan misschien zeggen:

als ln(x)/n2<epsilon, dan moet N wortel(epsilon/ln(x)) zijn, (en dat mag dus niet).

#12

Drieske

    Drieske


  • >5k berichten
  • 10217 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 maart 2012 - 13:06

Beste manier (nuja, beste, dat is natuurlijk kwestie van voorkeur) is de definitie te ontkrachten. Maar hiervoor moet je uiteraard eerst goed weten wat de definitie zegt ťn hoe je de ontkenning daarvan neemt. Nog anders gezegd: wat betekent het om niet uniform convergent te zijn? En dan iets exacter dan 'epsilon hangt niet van x af', want dat klopt wel, maar is meer een interpretatie dan definitie :).
Zoek je graag naar het meest interessante wetenschapsnieuws? Wij zoeken nog een vrijwilliger voor ons nieuwspostteam.

#13

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 28 maart 2012 - 14:44

Laat ik het anders verwoorden, het maakt niet uit welke epsilon of N jij mij geeft, ik kan altijd een x vinden zodanig dat

LaTeX .
Quitters never win and winners never quit.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures