Niveaulijnen
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
- Berichten: 1.201
Niveaulijnen
Veronderstel dat f: R -> R een niet nader gespecifeerde functie is. Beschouw nu
de functie
g: R² -> R: (x,y) |-> g(x,y) = f(x² + y²)
Kan je iets besluiten over de vorm van de niveaulijnen van g ?
Zou iemand me voor deze opgave op weg kunnen helpen ?
Dank bij voorbaat!
de functie
g: R² -> R: (x,y) |-> g(x,y) = f(x² + y²)
Kan je iets besluiten over de vorm van de niveaulijnen van g ?
Zou iemand me voor deze opgave op weg kunnen helpen ?
Dank bij voorbaat!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Niveaulijnen
Wat zijn niveaulijnen?
Als je bv bekijkt g(x,y)=x²+y², wat zijn dan de niveaulijnen?
Wat is f(x) in dit geval?
Als je bv f(x)=sin(x) kiest wat is dan je g(x,y) en wat zijn dan de niveaulijnen?
Als je bv bekijkt g(x,y)=x²+y², wat zijn dan de niveaulijnen?
Wat is f(x) in dit geval?
Als je bv f(x)=sin(x) kiest wat is dan je g(x,y) en wat zijn dan de niveaulijnen?
- Berichten: 1.201
Re: Niveaulijnen
Niveaulijnen zijn lijnen in het R² vlak die punten van een grafiek R³ met allemaal dezelfde hoogte verbinden; zo
kan men toch een beeld krijgen van de grafiek zonder deze driedimensionaal te moeten tekenen.
Wanneer we kijken naar de niveaulijnen van h(x,y) = x² + y²
Krijgen we parabool-achtige lijnen in de vier hoeken naar het punt (0,0) toe; die stijgen. (zie schets)
[attachment=9914:grafiekn...aulijnen.png]
In dit geval zou f(x) = x
Indien we f(x) = sin (x) kiezen, bevinden onze niveaulijnen zich tussen -1 en 1, correct ?
Dus ik vermoed dat we bij in dit geval niets kunnen besluiten over de niveaulijnen indien we f(x) niet nader gespecifeerd hebben.
kan men toch een beeld krijgen van de grafiek zonder deze driedimensionaal te moeten tekenen.
Wanneer we kijken naar de niveaulijnen van h(x,y) = x² + y²
Krijgen we parabool-achtige lijnen in de vier hoeken naar het punt (0,0) toe; die stijgen. (zie schets)
[attachment=9914:grafiekn...aulijnen.png]
In dit geval zou f(x) = x
Indien we f(x) = sin (x) kiezen, bevinden onze niveaulijnen zich tussen -1 en 1, correct ?
Dus ik vermoed dat we bij in dit geval niets kunnen besluiten over de niveaulijnen indien we f(x) niet nader gespecifeerd hebben.
- Bijlagen
-
- grafiekniveaulijnen.png (16.06 KiB) 1689 keer bekeken
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 7.068
Re: Niveaulijnen
Kijk eens naar deze contourplot. Die komt niet overeen met je schets.
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Niveaulijnen
Is dit de eerste maal dat je (bv) naar x²+y²=1 kijkt? De eenheidscirkel bij de sin en cos is je toch bekend (hoop ik)?
Hoe ben je tot deze plot gekomen? Wat heb je ingetoetst ...
Hoe ben je tot deze plot gekomen? Wat heb je ingetoetst ...
- Berichten: 1.201
Re: Niveaulijnen
Klopt, klaarblijkelijk is mijn schets fout.Kijk eens naar deze contourplot. Die komt niet overeen met je schets.
De counterplot geeft wel een juist beeld van de niveaulijnen weer. Maar volgens mij klopt
mijn redenering erachter nog steeds, of niet ?
OT: Bedankt voor de handige link!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
- Berichten: 1.201
Re: Niveaulijnen
Ja, dit is de eerste keer dat ik naar x² + y² kijk. Ik ben wel bekend met de eenheidscirkel.Safe schreef:Is dit de eerste maal dat je (bv) naar x²+y²=1 kijkt? De eenheidscirkel bij de sin en cos is je toch bekend (hoop ik)?
Hoe ben je tot deze plot gekomen? Wat heb je ingetoetst ...
Ik probeer manueel e beeld te krijgen van de niveaulijnen, wat klaarblijkelijk niet gelukt was.
We kunnen dus hoe dan ook besluiten dat de hoogtelijnen van g(x,y) cirkelvormig gaan zijn ?
Maar waarom is dit juist ?
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 7.068
Re: Niveaulijnen
Bekijk het eens in poolcoordinaten. Je kan een coordinaat in plaats van met x en y ook beschrijven door middel van een afstand r tot de oorsprong en een hoek \(\phi\) (met de x-as):
\(x = r \cdot \cos(\phi)\)
\(y = r \cdot \sin(\phi)\)
dan:\(x^2 + y^2 = ( r \cdot \cos(\phi))^2 +( r \cdot \sin(\phi))^2 = r^2 \cdot (\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)) = r^2\)
dus:\(g(x,y) = f(x^2 + y^2) = f(r^2)\)
Dus de waarde van g hangt enkel af van de afstand tot de oorsprong. Alle punten die op dezelfde afstand liggen hebben dus dezelfde waarde voor g. Je kan dus zeggen dat de niveaulijnen cirkels zullen zijn.- Berichten: 1.201
Re: Niveaulijnen
Prachtig.EvilBro schreef:Bekijk het eens in poolcoordinaten. Je kan een coordinaat in plaats van met x en y ook beschrijven door middel van een afstand r tot de oorsprong en een hoek \(\phi\) (met de x-as):
\(x = r \cdot \cos(\phi)\)\(y = r \cdot \sin(\phi)\)dan:
\(x^2 + y^2 = ( r \cdot \cos(\phi))^2 +( r \cdot \sin(\phi))^2 = r^2 \cdot (\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)) = r^2\)dus:
\(g(x,y) = f(x^2 + y^2) = f(r^2)\)Dus de waarde van g hangt enkel af van de afstand tot de oorsprong. Alle punten die op dezelfde afstand liggen hebben dus dezelfde waarde voor g. Je kan dus zeggen dat de niveaulijnen cirkels zullen zijn.
Ik mag dus veronderstellen dat dit een wel bekende vraag is ? want met andere voorbeelden zal
dat natuurlijk niet (altijd) mogelijk zijn ?
Hartelijk dank Safe en Evilbro voor jullie hulp!
The ideas of economists and political philosophers, both when they are right and when they are wrong, are more powerful than is commonly understood. Indeed the world is ruled by little else. Quote : John Maynard Keynes
-
- Berichten: 7.068
Re: Niveaulijnen
De 'vorm' hangt natuurlijk af van de functie g die je bekijkt. Als je de volgende functie g had gehad dan was je eerdere schets goed geweest:Ik mag dus veronderstellen dat dit een wel bekende vraag is ? want met andere voorbeelden zal dat natuurlijk niet (altijd) mogelijk zijn ?
\(g(x,y) = f(\frac{1}{|x|} + \frac{1}{|y|})\)
Het belangrijke is om je te realiseren dat de functie f weinig invloed heeft op de vorm.- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Niveaulijnen
Heb je m'n aanpak begrepen? Want daar moet je van leren ...
In feite komt het toch weer neer op: wat is een functie.
Je hebt te maken met g(x,y)=f(x²+y²)=k, dus x²+y²=f^inv(k), waarin f^inv de inverse functie is. Nu moet duidelijk zijn dat f^inv(k) (als deze bestaat) weer een constante c is, dus zijn je niveaulijnen cirkels met middelpunt O straal c.
Kijk nog eens naar het vb f(x)=x²-x en bekijk niveau 2 ...
In feite komt het toch weer neer op: wat is een functie.
Je hebt te maken met g(x,y)=f(x²+y²)=k, dus x²+y²=f^inv(k), waarin f^inv de inverse functie is. Nu moet duidelijk zijn dat f^inv(k) (als deze bestaat) weer een constante c is, dus zijn je niveaulijnen cirkels met middelpunt O straal c.
Kijk nog eens naar het vb f(x)=x²-x en bekijk niveau 2 ...