Wetenschapsforum

Veronderstel dat f: R -> R een niet nader gespecifeerde functie is. Beschouw nu

de functie

g: R² -> R: (x,y) |-> g(x,y) = f(x² + y²)

Kan je iets besluiten over de vorm van de niveaulijnen van g ?

Zou iemand me voor deze opgave op weg kunnen helpen ?

Dank bij voorbaat!

Wat zijn niveaulijnen?

Als je bv bekijkt g(x,y)=x²+y², wat zijn dan de niveaulijnen?

Wat is f(x) in dit geval?

Als je bv f(x)=sin(x) kiest wat is dan je g(x,y) en wat zijn dan de niveaulijnen?

Je zou de formule in poolcoordinaten kunnen bekijken...

Niveaulijnen zijn lijnen in het R² vlak die punten van een grafiek R³ met allemaal dezelfde hoogte verbinden; zo

kan men toch een beeld krijgen van de grafiek zonder deze driedimensionaal te moeten tekenen.

Wanneer we kijken naar de niveaulijnen van h(x,y) = x² + y²

Krijgen we parabool-achtige lijnen in de vier hoeken naar het punt (0,0) toe; die stijgen. (zie schets)

[attachment=9914:grafiekn...aulijnen.png]

In dit geval zou f(x) = x

Indien we f(x) = sin (x) kiezen, bevinden onze niveaulijnen zich tussen -1 en 1, correct ?

Dus ik vermoed dat we bij in dit geval niets kunnen besluiten over de niveaulijnen indien we f(x) niet nader gespecifeerd hebben.

Kijk eens naar deze contourplot. Die komt niet overeen met je schets.

Is dit de eerste maal dat je (bv) naar x²+y²=1 kijkt? De eenheidscirkel bij de sin en cos is je toch bekend (hoop ik)?

Hoe ben je tot deze plot gekomen? Wat heb je ingetoetst ...

Kijk eens naar deze contourplot. Die komt niet overeen met je schets.

Klopt, klaarblijkelijk is mijn schets fout.

De counterplot geeft wel een juist beeld van de niveaulijnen weer. Maar volgens mij klopt

mijn redenering erachter nog steeds, of niet ?

OT: Bedankt voor de handige link!

Safe schreef:Is dit de eerste maal dat je (bv) naar x²+y²=1 kijkt? De eenheidscirkel bij de sin en cos is je toch bekend (hoop ik)?

Hoe ben je tot deze plot gekomen? Wat heb je ingetoetst ...

Ja, dit is de eerste keer dat ik naar x² + y² kijk. Ik ben wel bekend met de eenheidscirkel.

Ik probeer manueel e beeld te krijgen van de niveaulijnen, wat klaarblijkelijk niet gelukt was.

We kunnen dus hoe dan ook besluiten dat de hoogtelijnen van g(x,y) cirkelvormig gaan zijn ?

Maar waarom is dit juist ?

Bekijk het eens in poolcoordinaten. Je kan een coordinaat in plaats van met x en y ook beschrijven door middel van een afstand r tot de oorsprong en een hoek \(\phi\) (met de x-as):
dan:
dus:
Dus de waarde van g hangt enkel af van de afstand tot de oorsprong. Alle punten die op dezelfde afstand liggen hebben dus dezelfde waarde voor g. Je kan dus zeggen dat de niveaulijnen cirkels zullen zijn.

EvilBro schreef:Bekijk het eens in poolcoordinaten. Je kan een coordinaat in plaats van met x en y ook beschrijven door middel van een afstand r tot de oorsprong en een hoek \(\phi\) (met de x-as):

\(x = r \cdot \cos(\phi)\)

\(y = r \cdot \sin(\phi)\)

dan:

\(x^2 + y^2 = ( r \cdot \cos(\phi))^2 +( r \cdot \sin(\phi))^2 = r^2 \cdot (\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)) = r^2\)

dus:

\(g(x,y) = f(x^2 + y^2) = f(r^2)\)

Dus de waarde van g hangt enkel af van de afstand tot de oorsprong. Alle punten die op dezelfde afstand liggen hebben dus dezelfde waarde voor g. Je kan dus zeggen dat de niveaulijnen cirkels zullen zijn.

Prachtig.

Ik mag dus veronderstellen dat dit een wel bekende vraag is ? want met andere voorbeelden zal

dat natuurlijk niet (altijd) mogelijk zijn ?

Hartelijk dank Safe en Evilbro voor jullie hulp!

Ik mag dus veronderstellen dat dit een wel bekende vraag is ? want met andere voorbeelden zal dat natuurlijk niet (altijd) mogelijk zijn ?

De 'vorm' hangt natuurlijk af van de functie g die je bekijkt. Als je de volgende functie g had gehad dan was je eerdere schets goed geweest:
Het belangrijke is om je te realiseren dat de functie f weinig invloed heeft op de vorm.

Heb je m'n aanpak begrepen? Want daar moet je van leren ...

In feite komt het toch weer neer op: wat is een functie.

Je hebt te maken met g(x,y)=f(x²+y²)=k, dus x²+y²=f^inv(k), waarin f^inv de inverse functie is. Nu moet duidelijk zijn dat f^inv(k) (als deze bestaat) weer een constante c is, dus zijn je niveaulijnen cirkels met middelpunt O straal c.

Kijk nog eens naar het vb f(x)=x²-x en bekijk niveau 2 ...