Springen naar inhoud

[wiskunde] Vlakvulling met driehoeken en vierkanten


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 14:15

5a. Onderzoek of je met een willekeurige driehoek als basisfiguur een vlak kunt vullen.
5b. Is elk vierhoek geschikt als basisfiguur voor een vlakvulling? Geef of een "waterdichte" redenering of een tegenvoorbeeld.


deze vragen heb ik proberen op te lossen maar ik kom er echt niet uit.
zou iemand mij hiermee willen helpen? :shock:
alvast bedankt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 14:23

uit vraag a ben ik inmiddels wel gekomen.

daarvoor neem je gewoon een driehoek met een hoek van 90 graden en dam kan je een door 2 driehoeken schuin omgekeerd tegen elkaar te zetten een vierkant maken.

maar vraag b :shock: kan iemand daarbij helpen?

#3

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44883 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 14:24

5a: begin eens met redeneren dat je, door twee identieke driehoeken met zijden a, b en c, met bijvoorbeeld de zijden a tegen elkaar plakt. Je krijgt een vierhoek waarvan de tegenoverstaande zijden aan elkaar gelijk zijn. Die vierhoeken passen perfect aan elkaar.
Wiskundig bewijs moet je mij niet vragen.

En uit dit voorbeeld zou het antwoord op 5b) wel eens voort kunnen vloeien, gezien de vraagstelling.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#4


  • Gast

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 14:40

bedankt voor je hulp :shock:

vraag a snap ik nu, maar bij vraag b heb ik nog steeds geen idee ;)

#5

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44883 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 15:20

Jouw mededeling dat je 5a al had opgelost met rechthoekige driehoeken kwam net voor mijn post. Maar een rechthoekige driehoek is toch geen willekeurige driehoek zoals de vraag stelt? Zo bedoelde ik mijn post. Met elke willekeurige driehoek kun je vierhoeken maken, al zullen die niet rechthoekig zijn, maar ruitvormig. Je kunt er nog steeds vlakken mee vullen.

Vraag 5b ben ik ook nog niet uit.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#6


  • Gast

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 17:23

weet iemand anders een antwoord op deze vraag?

ik heb ook nog een andere vraag?,
3. Met cirkels kun je het platte vlak alleen vullen als de cirkels mogen overlappen. Maar dat valt niet onder de definitie van vlakvulling, Je kunt je wel afvragen welk percentage van het vlak je maximaal kunt vullen met even grote cirkels. Als je een vlak hebt van 4 bij 4 met daarin 4 cirkels die een straal van 1cm heb.
3.a Bereken welk percentage van de oppervlakte van het vierkant bedekt wordt door de vier cirkels.


kan iemand me hier mee helpen ?

#7

Wouter_Masselink

    Wouter_Masselink


  • >5k berichten
  • 8252 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 17:29

Je zit dus met de moeilijkheid dat je op verschillende manieren de cirkels kan plaatsen. Hier kom ik ook zo 1,2,3 niet uit. Ik raad je aan om zelf met papier en schaar aan de slag te gaan. Zo kan je zelf kijken welke formatie de beste is. Hieraan rekenen zal niet zo heel moeilijk zijn.

EDIT:

de beste manier om dit aan te pakken is door de cirkels te stapelen zoals boomstammen. zie ook: http://www.wetenscha...showtopic=14538
"Meep meep meep." Beaker

#8


  • Gast

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 17:44

dankje wel voor je hulp :shock:

maar bij vraag b,
3.b Met dit vierkant kun je een vlakvulling maken. Welk percentage van het hele vlak wordt dan door cirkels bedekt?

ik snap niet echt wat ze hier bedoelen ?
iemand wel?

#9

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44883 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 18:04

met een vrijwel identieke vraag over die cirkels zijn we al even druk bezig in onderstaand topic. Voor die cirkels staat het antwoord er berekend. Waar brandhoutstapelkwesties al niet goed voor zijn.

http://www.wetenscha...showtopic=14538
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#10

Stephaan

    Stephaan


  • >250 berichten
  • 866 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 19:21

@Jan van de Velde
Zo Okt 23, 2005 4:20 pm schrijf je
Met elke willekeurige driehoek kun je vierhoeken maken, al zullen die niet rechthoekig zijn, maar ruitvormig.

Ik denk dat een ruit 4 even lange zijden heeft en dat je met 2 gelijke willekeurige driehoeken steeds een parallelogram kan vormen (overstaande zijden 2 aan 2 gelijk en evenwijdig). Kijk je dat eens na?

#11

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44883 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 20:26

stephaan heeft gelijk, een ruit is een bijzondere vorm van parallellogram.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#12


  • Gast

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 21:23

Hartstikke bedankt allemaal :P

nu heb ik nog een laatste vraag.
mijn vraag gaat over 10b. de rest snap ik maar je hebt ook vraag 3 nodig voor vraag 10b :roll:

3. Met cirkels kun je het platte vlak alleen vullen als de cirkels mogen overlappen. Maar dat valt niet onder de definitie van vlakvulling, Je kunt je wel afvragen welk percentage van het vlak je maximaal kunt vullen met even grote cirkels. Als je een vlak hebt van 4 bij 4 met daarin 4 cirkels die een straal van 1cm heb.
3.a Bereken welk percentage van de oppervlakte van het vierkant bedekt wordt door de vier cirkels.
3.b Met dit vierkant kun je een vlakvulling maken. Welk percentage van het hele vlak wordt dan door cirkels bedekt?
3.c Je kunt ook een vierkant tekenen met als hoekpunten de middelpunten van de vier cirkels. Welk percentage van de oppervlakte van dit vierkant ligt binnen de cirkels?


10. Het is niet mogelijk een vlakvulling te maken met uitsluitend cirkels.
Zie vraag 3 voor welk percentage het vlak door cirkels bedekt wordt als de middelpunten een vierkant patroon vormen.
10a. Er is een ander patroon van even grote cirkels waarmee een groter percentage van het vlak bedekt kan worden. Teken dit patroon en bereken hoeveel procent van het vlak door de cirkels bedekt wordt.

10b. Het is mogelijk een nog groter percentage van het vlak te bedekken als je twee soorten cirkels mag gebruiken: een soort met een grote straal en een tweede soort met een kleinere straal. Zoek een patroon met twee soorten cirkels waarme je een zo groot mogelijk deel van het vlak kunt bedekken.

ik moet het voor morgen middag 3 uur weten bij voorbaat dank :P[/b]

#13

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44883 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 21:39

10 b.

als je vier cirkels tekent met hun middelpunten op de hoekpunten van een denkbeeldig vierkant, en zodanig dat ze elkaar raken, dan heb je een gat in het midden. Vul dit gat met een zo groot mogelijk cirkeltje. Het middelpunt van dit cirkeltje zal samenvallen met het middelpunt van je denkbeeldige vierkant. Als je wilt weten hoe groot dat cirkeltje moet zijn:

teken een lijn van een hoekpunt van je vierkant, door het middelpunt naar het tegenoverliggende hoekpunt. Met pythagoras reken je de lengte van deze lijn uit. In je tekening zul je duidelijk zien dat deze lijn net zo lang is als twee keer een straal van je grote cirkels, en de volledige diameter (is ook 2 x de straal) van je kleinere cirkeltje.

Ik denk dat je voor dit soort gevallen iets minder moet denken en iets meer tekenen. Dan vallen de antwoorden vaak gelijk op.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#14


  • Gast

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 22:09

In het geval van het patroon zoals gegeven door Jan van de Velde is de loze ruimte per oppervlakte-eenheid 7,9%.

10b. Andere mogelijkheid:

Wat dacht je van de stapeling van de grote cirkels als in de
´houtstapelkwestie´ en dan nog een kleintje ertussen in proppen.

Als de straal van de grote cirkel R is, dan is de straal van de kleine
cirkel r = ((2/3)*sqrt(3) - 1)*R. De oppervlakte van de driehoek
die door de middelpunten van de grote cirkels gaat is sqrt(3)*(R^2).
De ´taartpunten´ van de grote cirkels nemen samen een oppervlakte
in van een halve grote cirkel, dus Pi*R^2. Het kleine cirkeltje neemt
nog een oppervlakte in van (Pi/3)*(7 - 4*sqrt(3))*R^2. Totaal dus
(Pi/6)*(17 - 8*sqrt(3)).

We vinden dan al met al een loze ruimte per oppervlakte-eenheid van
4,96920%.

#15


  • Gast

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 22:12

Oepsie, Er moet staan: Totaal dus (Pi/6)*(17 - 8*sqrt(3))*R^2.

Trouwens, misschien niet helemaal duidelijk maar je tekent dus
DRIE cirkels tegen elkaar aan en in het gat prop je nog een klein
vierde cirkeltje.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures