Springen naar inhoud

Wiskunde en zwaartekracht


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44825 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 15:12

Wie lost dit a.u.b. wiskundig op:
De aarde is niet rond. Dat wil zeggen, ze is geen perfecte bol, maar heeft een beetje een ellipsoide doorsnede, afgeplat aan de polen en uitgedijd aan de evenaar. Gevolg hiervan is dat je gewicht (de kracht waarmee de aardmassa aan jouw massa trekt en v.v.) op de evenaar kleiner is dan op de polen.

Intuitief had ik dit andersom aangevoeld. Stel je de aarde voor als een grote zak met kiezels. De zwaartekracht die de aarde op mij uitoefent is de resultante van de zwaartekracht die door elk afzonderlijk kiezeltje op mij wordt uitgeoefend. Hier komt ook een richtingscomponent bij kijken. Immers, een kiezeltje rechts naast mij trekt mij alleen maar naar rechts, en niet naar beneden.

De zwaartekracht die twee lichamen op elkaar uitoefenen kan geschreven woren als

Fz=G*m1*m2/r▓

waar in G de Gravitatieconstante is, m1 en m2 de massa's van de respectievelijke lichamen en r de afstand tussen de massamiddelpunten van beide lichamen.

Zo redenerend zijn we in gedachten de aarde verder gaan afplatten tot een enorme platte ellipsoide met een poolas van niet meer dan een meter, en een straal tot de evenaar van miljoenen kilometers. Deze platte aarde heeft dezelfde inhoud en daarmee dezelfde massa als de huidige bijna-bol. De conclusie is dat je, staande op een pool, inderdaad nagenoeg gewichtloos zou moeten zijn. MAAR DIE CONCLUSIE IS NOG STEEDS INTUITIEF.

<span style='color:darkred'>Hamvragen:
- is die intuitie correct
- zo ja, waar ligt dan het omslagpunt, m.a.w. hoe plat (lees:ellipsoide)moet de aarde worden opdat je gewicht op de pool weer gelijk wordt aan je gewicht op de evenaar?</span>
De volledige discussie hierover beslaat een post of 10 in het forum Klassieke Natuurkunde, topic Zwaartekracht, op pagina's 4 en 5.

De volgende wiskundige suggesties zijn al gedaan:

Het hele probleem is toch dat het lijkt alsof de aantrekkingskracht in verticale richting wanneer je op de pool staat van een afgeplatte aarde kleiner zou moeten zijn dan die van een bolvormige aarde?

Als je aanhoudt dat beide objecten een uniforme dichtheid hebben en hetzelfde volume, kun je ze opdelen in een serie gestapelde schijfjes, die als het ware aan de poolas geregen zijn. Beschouw de verticale afstand van de waarnemer tot het midden van zo'n schijf als h, de radiele positie op de schijf als r, de dikte van de schijf als t, en de dichtheid als rho. Een massa-elementje van de schijf is dan rho * t * dr * r * dtheta. Dit massa-elementje zit op afstand sqrt(r^2 + h^2) van de waarnemer, en de verticale component van zijn aantrekkingskracht willen we hebben. Die component is een factor h / sqrt(r^2 + h^2). Als we nu voor de universele gravitatieconstante G nemen, dan is de verticale aantrekkingskracht door een schijf op de waarnemer:

a(vert) = «(theta) t * rho * r * G / (r^2 + h^2) * h / sqrt(r^2 + h^2) dr dtheta.

Oplossen van deze oppervlakte-integraal levert:

a(vert) = 2 * pi * t * rho * G * h * (-1/sqrt(r^2 + h^2)) |(0...Rmax).


Dit probleem is enkel oplosbaar door de zwaartekracht voor een elipsoide te berekenen met behulp van een dubbele integraal (omdat we veronderstellen dat de as door de polen een symmetrie as is. Als deze intgraal opgelost is differentieren naar de verhouding van de twee assen, zodat je het maximum bepaald.

De integraal is volgens mij:

dt▓/(b-bsin(t))▓
met grenzen -a;cos(t) tot a.cos(t) (binnenintegraal en van 0 tot b

<span style='color:red'>Wie lost hem op?</span>

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 16:48

De zwaartekracht die twee lichamen op elkaar uitoefenen kan geschreven woren als Quote:  

Fz=G*m1*m2/r▓

waar in G de Gravitatieconstante is, m1 en m2 de massa's van de respectievelijke lichamen en r de afstand tussen de massamiddelpunten van beide lichamen.


De aarde is niet rond. Dat wil zeggen, ze is geen perfecte bol, maar heeft een beetje een ellipsoide doorsnede, afgeplat aan de polen en uitgedijd aan de evenaar. Gevolg hiervan is dat je gewicht (de kracht waarmee de aardmassa aan jouw massa trekt en v.v.) op de evenaar kleiner is dan op de polen.


Dit zou kloppen volgens de formule die je gaf. Op de polen is r dan kleiner, dus Fz groter.

Zo redenerend zijn we in gedachten de aarde verder gaan afplatten tot een enorme platte ellipsoide met een poolas van niet meer dan een meter, en een straal tot de evenaar van miljoenen kilometers. Deze platte aarde heeft dezelfde inhoud en daarmee dezelfde massa als de huidige bijna-bol. De conclusie is dat je, staande op een pool, inderdaad nagenoeg gewichtloos zou moeten zijn. MAAR DIE CONCLUSIE IS NOG STEEDS INTUITIEF.


Met het 'afplatten' van de polen, bedoel je toch dat de afstand tussen de persoon en middelpunt van de aarde (=r) kleiner wordt op de polen? In dat geval wordt Fz toch juist groter op de polen?
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#3

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 16:58

Intuitief had ik dit andersom aangevoeld. Stel je de aarde voor als een grote zak met kiezels. De zwaartekracht die de aarde op mij uitoefent is de resultante van de zwaartekracht die door elk afzonderlijk kiezeltje op mij wordt uitgeoefend. Hier komt ook een richtingscomponent bij kijken. Immers, een kiezeltje rechts naast mij trekt mij alleen maar naar rechts, en niet naar beneden.

intu´tief vind ik de vorm zoals die er nu is normaal: draai iets rond en alles wordt zoveel mogelijk naar buiten geduwd (want de aarde draait :shock:)
???

#4

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 17:22

Ik wil even op deze discussie inspringen om te voorkomen dat we twee gelijksoortige discussies krijgen. De discussie over de zwaartekracht is hier te vinden: http://www.wetenscha...showtopic=12757

Het gaat specifiek om het oplossen van het volgende

De zwaartekracht versnelling is uit te rekenen volgens:

g = - :shock: ;)

met ;) de zwaartekracht potentiaal. Deze is voor een homogeen lichaam te berekenen als:

Geplaatste afbeelding

Waar G en rho fysische constanten zijn en r de afstand van een punt buiten het lichaam tot aan het volume elementje dv' Er wordt geintegreerd over het gehele volume V

Voor een bol met een willekeurige straal en een punt P op afstand R van het massamiddelpunt geeft dit:

greek0004.gif = -GM / R

waaruit volgt g = - GM / R2

De vraag is hoe deze berekening gedaan moet worden voor een ellipsoide
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#5

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 20:00

De vraag is hoe deze berekening gedaan moet worden voor een ellipsoide


Ik vraag me het volgende af;

1-Stel dat je personen hebt die allen even zwaar wegen. Deze personen nemen allemaal een andere vorm aan. De 1 strekt zich helemaal uit, de ander niet :roll: en de ander doet een ellipsoide na. Het zwaarte punt is bij allen evenver van het hart van de aarde verwijderd. Is de Fz bij allen nog steeds gelijk?

2-Stel dat je op een willekeurige plek op de aarde een gat gaat graven naar het hart van de aarde toe. Verandert de Fz op die persoon dan?

3-Verschilt de Fz wanneer je op een berg van 4km hoog staat, dan wanneer je je op zeeniveau begeeft?

4-Stel dat de zon opeens van vorm veranderd, zwaartepunt en gewicht blijven gelijk. Neemt de kracht waarmee hij aan de aarde trekt dan af, toe of blijft gelijk?

5-zijn er gevallen/formules bekend waarbij de vorm van een object van invloed is op de kracht die hij uitoefend?
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#6

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44825 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 oktober 2005 - 21:08

antwoord op je vragen:
1- zal volgen uit het antwoord uit de vraag van dit topic.

2- is beantwoord in het topic zwaartekracht op klassieke natuurkunde

3- Ja, op de berg weeg je minder zwaar, omdat r^2 uit de eerder gegeven formule toeneemt. Zwaartekracht is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand.

4- zie 1

5- dat zal ook volgen uit wat we met dit topic proberen te bereiken.

stay tuned
en hou aub de vraagstelling in de gaten. Over de beginselen of gevolgen van zwaartekracht an sich discussieren kan bij klassieke natuurkunde (waar de vraag uit dit wiskunde-topic vandaan komt).
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#7

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 oktober 2005 - 20:45

Na wat zoeken op internet ben het volgende tegen gekomen;

"Note that the force of gravity does not depend on the object's shape, density, or what it is made of. GRAVITY DEPENDS ON MASS AND DISTANCE AND NOTHING ELSE! "

Dit staat hier


"Also, Galileo's assumption that force due to gravity does not depend on shape was a damn good one. How would he know that? Simple, people have been using balances for millenia. Balances measure the relative force due to gravity. Showing that two objects that have different shapes but the same mass experience the same gravitational force is trivial using a balance as long as their size is small compared to the radius of the Earth. The other nice thing about a balance is that it eliminates air resistance entirely."

Dit staat hier



Vraag;
"What would MOST LIKELY happen to the Earth's gravity if it were a cube instead of a sphere, assuming it would have the same rotation and distance from the moon and sun?"

Antwoord;
"Over all, gravity is not at all related to the shape of the object, so the total gravity of the Earth would be the same. This means that if you were not standing on the Earth, you would feel the same pull from the Earth. However, gravity does depend on the distance from the center of the object. Since the distance from the center of the Earth would be greater toward the corners of the cube, the gravity would be less. In the center of the sides of the cube, the distance from the center would be less, and the pull of gravity stronger."


Dit staat hier


Het lijkt erop dat de vorm er niet toe doet.
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#8

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44825 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 24 oktober 2005 - 21:03

JVV, nuttige info allemaal. Zoals je zegt:

Het lijkt erop dat de vorm er niet toe doet.


Een aantal mensen op het zwaartekrachtforum stellen dat dat er wel op lijkt, we zoeken alleen het wiskundig bewijs voor het gelijk of ongelijk van onze stelling.

Moderator Bart schreef:

Het gaat specifiek om het oplossen van het volgende  

De zwaartekracht versnelling is uit te rekenen volgens:  

g = -    

met  de zwaartekracht potentiaal. Deze is voor een homogeen lichaam te berekenen als:  

 

Waar G en rho fysische constanten zijn en r de afstand van een punt buiten het lichaam tot aan het volume elementje dv' Er wordt geintegreerd over het gehele volume V  

Voor een bol met een willekeurige straal en een punt P op afstand R van het massamiddelpunt geeft dit:  

greek0004.gif = -GM / R  

waaruit volgt g = - GM / R2  

De vraag is hoe deze berekening gedaan moet worden voor een ellipsoide

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#9

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 oktober 2005 - 08:04

Discussies over vorm en de wetten van de zwaartekracht moeten hier niet gevoerd worden. Hier kijken we louter naar de wiskundige uitwerking van een probleem. Met name

Wat is de kracht die een massa verdeeld over een bepaalde vorm uitoefend uitgaande van de wet van Newton (dit zijn de wetten die bart vermeld heeft).
Voor de eenvoud veronderstellen we dat de vorm een ellipsoide is.

Wiskundigen onder ons, stel de integraal op en werk hem uit!

PS: De vorm is wel degelijk van belang, maar voor meer uitleg hierover ga je maar naar het betreffende topic in moderne natuurkunde.
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

#10

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44825 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 november 2005 - 11:42

De WISKUNDIGE vraagstelling was :

Quote Brinx:

Stel je een omwentelingsellipsoide voor die van pool tot pool slechts een meter meet, maar die wel een equatoriale straal heeft van 16.1 miljoen kilometer. Zo'n object heeft dezelfde inhoud als de aarde (inhoud ellipsoide is toch 4/3 * pi * a * b * c, waarbij a, b en c de drie stralen zijn?), en je kunt ook als randvoorwaarde stellen dat het dezelfde dichtheid heeft. Je bevindt je nu wel op een halve meter van het zwaartepunt, maar de puntmassabenadering, die wel geldig is voor bolsymmetrische objecten, geldt al lang niet meer. De verticale component van de aantrekkingskracht die nu op je uitgeoefend wordt lijkt me nu kleiner dan wanneer je op een bolvormige aarde zou staan. De vraag is nu: waar ligt dat omslagpunt? hoe afgeplat zou de aarde moeten zijn om op de polen weer dezelfde aantrekkingskracht te krijgen als op de equator?


Forumlid TD vond de volgende sites met relevant wiskundig voorwerk:

Op onderstaande link vind je de gravitatiewet van Newton afgeleid voor perfecte bolsymmetrie en op de tweede link vind je eerder beknopte informatie voor de gravitatie ingeval van een ellipsoide.  

http://scienceworld....ionalForce.html  
http://scienceworld....ionalForce.html  

Ook zeker de moeite in dit verband:  
http://www.strw.leid...ls/handout2.pdf


We zoeken:
1):
het wiskundig bewijs dat ik op de pool van een plat ellipsoide aarde bijna geen resultante zwaartekracht naar beneden meer ondervind,
2):
ergens tussen die zeer platte ellipsoide en de bol moet er dus nog een ellipsoide bestaan waarbij de resultante Fz (gericht naar het middelpunt van de aarde) op de uitgedijde evenaar en op de afgeplatte pool weer gelijk aan elkaar zijn. Waar ligt dit omslagpunt?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#11

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44825 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 december 2005 - 17:43

We zoeken:  
1):  
het wiskundig bewijs dat ik op de pool van een plat ellipsoide aarde bijna geen resultante zwaartekracht naar beneden meer ondervind,  
2):  
ergens tussen die zeer platte ellipsoide en de bol moet er dus nog een ellipsoide bestaan waarbij de resultante Fz (gericht naar het middelpunt van de aarde) op de uitgedijde evenaar en op de afgeplatte pool weer gelijk aan elkaar zijn. Waar ligt dit omslagpunt?

:roll: Sorry dat ik dit weer eens onder de aandacht breng, maar ik heb de afgelopen maand al weer zoveel moeilijke wiskundeproblemen voorbij zien komen, dat er toch ook wel iemand moet zijn die hier een gat in ziet? :P
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#12

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44825 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 13 februari 2006 - 16:04

Vandaag een mailtje ontvangen van dr. Akshay Kulkarni van het "ask-a-scientist" team(als reactie op een vraag van mij van een maand of drie geleden). Ze snappen het probleem en gaan zodra ze even tijd hebben eraan rekenen.

Hij merkt trouwens ook (terecht) op dat het allemaal nog wat ingewikkelder gemaakt kan worden doordat de aardkern een veel hogere dichtheid heeft dan de mantel. Hij zegt er niet bij of dat in de berekening meegenomen gaat worden.

Hier iemand die er een gat in ziet voor een homogene aarde alvast? :roll:
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#13

cvoh

    cvoh


  • 0 - 25 berichten
  • 22 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2006 - 17:16

Ben je al te rade gegaan bij jouw leerlingen van 4-vmbo ? Die weten toch hoe ze, zonder wiskunde wel te verstaan, een redenering moeten opbouwen die jouw vraag beantwoordt ?

#14

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 februari 2006 - 17:24

Ben je al te rade gegaan bij jouw leerlingen van 4-vmbo ? Die weten toch hoe ze, zonder wiskunde wel te verstaan, een redenering moeten opbouwen die jouw vraag beantwoordt ?

Wat is nou het nut van zo'n flauwe reactie, enkel als doel om te stoken? Als je het antwoord wel weet, geef dat dan ook. En als je het niet weet..... :roll:

@Jan: negeer dit svp.
Never underestimate the predictability of stupidity...

#15

Brinx

    Brinx


  • >1k berichten
  • 1433 berichten
  • Lorentziaan

Geplaatst op 19 februari 2006 - 17:40

Toch nog maar even wezen stoeien met dit probleem!

Even ter controle: Voor de gravitatieversnelling die een object ondervindt wanneer het op een hoogte H boven het middelpunt van een schijf met massa M, straal R, en verwaarloosbare dikte zit krijg ik:

LaTeX

Ik heb hier gebruik gemaakt van de dubbele integraal:

LaTeX

Binnen die dubbele integraal staat de aantrekkingskracht in verticale richting t.g.v. een integratie-elementje van de schijf. De schijf heeft massa per oppervlakte-eenheid van LaTeX , en alleen de verticale versnelling wordt meegenomen, vanwege symmetrie: de horizontale componenten vallen toch allemaal tegen elkaar weg, omdat het object zich op de hartlijn van de schijf bevindt.

Kunnen enkele personen dit misschien controleren? Ik maak nogal makkelijk fouten bij dit soort integralen, helaas. Als dit klopt, kunnen we hiermee de integraal opstellen voor de hele ellipsoide door allemaal schijfjes van bepaalde afmetingen op elkaar te stapelen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures