De aarde is niet rond. Dat wil zeggen, ze is geen perfecte bol, maar heeft een beetje een ellipsoide doorsnede, afgeplat aan de polen en uitgedijd aan de evenaar. Gevolg hiervan is dat je gewicht (de kracht waarmee de aardmassa aan jouw massa trekt en v.v.) op de evenaar kleiner is dan op de polen.
Intuitief had ik dit andersom aangevoeld. Stel je de aarde voor als een grote zak met kiezels. De zwaartekracht die de aarde op mij uitoefent is de resultante van de zwaartekracht die door elk afzonderlijk kiezeltje op mij wordt uitgeoefend. Hier komt ook een richtingscomponent bij kijken. Immers, een kiezeltje rechts naast mij trekt mij alleen maar naar rechts, en niet naar beneden.
De zwaartekracht die twee lichamen op elkaar uitoefenen kan geschreven woren als
waar in G de Gravitatieconstante is, m1 en m2 de massa's van de respectievelijke lichamen en r de afstand tussen de massamiddelpunten van beide lichamen.Fz=G*m1*m2/r²
Zo redenerend zijn we in gedachten de aarde verder gaan afplatten tot een enorme platte ellipsoide met een poolas van niet meer dan een meter, en een straal tot de evenaar van miljoenen kilometers. Deze platte aarde heeft dezelfde inhoud en daarmee dezelfde massa als de huidige bijna-bol. De conclusie is dat je, staande op een pool, inderdaad nagenoeg gewichtloos zou moeten zijn. MAAR DIE CONCLUSIE IS NOG STEEDS INTUITIEF.
<span style='color:darkred'>Hamvragen:
- is die intuitie correct
- zo ja, waar ligt dan het omslagpunt, m.a.w. hoe plat (lees:ellipsoide)moet de aarde worden opdat je gewicht op de pool weer gelijk wordt aan je gewicht op de evenaar?</span>
De volledige discussie hierover beslaat een post of 10 in het forum Klassieke Natuurkunde, topic Zwaartekracht, op pagina's 4 en 5.
De volgende wiskundige suggesties zijn al gedaan:
Het hele probleem is toch dat het lijkt alsof de aantrekkingskracht in verticale richting wanneer je op de pool staat van een afgeplatte aarde kleiner zou moeten zijn dan die van een bolvormige aarde?
Als je aanhoudt dat beide objecten een uniforme dichtheid hebben en hetzelfde volume, kun je ze opdelen in een serie gestapelde schijfjes, die als het ware aan de poolas geregen zijn. Beschouw de verticale afstand van de waarnemer tot het midden van zo'n schijf als h, de radiele positie op de schijf als r, de dikte van de schijf als t, en de dichtheid als rho. Een massa-elementje van de schijf is dan rho * t * dr * r * dtheta. Dit massa-elementje zit op afstand sqrt(r^2 + h^2) van de waarnemer, en de verticale component van zijn aantrekkingskracht willen we hebben. Die component is een factor h / sqrt(r^2 + h^2). Als we nu voor de universele gravitatieconstante G nemen, dan is de verticale aantrekkingskracht door een schijf op de waarnemer:
a(vert) = ®(theta) t * rho * r * G / (r^2 + h^2) * h / sqrt(r^2 + h^2) dr dtheta.
Oplossen van deze oppervlakte-integraal levert:
a(vert) = 2 * pi * t * rho * G * h * (-1/sqrt(r^2 + h^2)) |(0...Rmax).
Dit probleem is enkel oplosbaar door de zwaartekracht voor een elipsoide te berekenen met behulp van een dubbele integraal (omdat we veronderstellen dat de as door de polen een symmetrie as is. Als deze intgraal opgelost is differentieren naar de verhouding van de twee assen, zodat je het maximum bepaald.
De integraal is volgens mij:
dt²/(b-bsin(t))²
met grenzen -a;cos(t) tot a.cos(t) (binnenintegraal en van 0 tot b
<span style='color:red'>Wie lost hem op?</span>
)
en de ander doet een ellipsoide na. Het zwaarte punt is bij allen evenver van het hart van de aarde verwijderd. Is de Fz bij allen nog steeds gelijk?
