Wetenschapsforum

Kan iemand mij een link geven naar een goede site waar word uitgelegd hoe ik moet intergreren?

Ik heb wel zo'n intergratie formule. die het omgekeerde is van dieferentie formule. maar ik zou toch graag duidelijke informatie willen.

Je kan op deze pagina (en subpagina's) eens een kijkje nemen, vraag gerust extra uitleg: http://www.wisfaq.nl/pagina.asp?nummer=1473

Je zou ook een goed boek kunnen kopen, het onderwerp is zo groot (en belangrijk) dat er veel boeken over geschreven zijn. Vaak met duidelijke uitgewerkte voorbeelden en opgaven (+antwoorden).

Zie ook deze thread

Poeh, als jij doelt op de Biot-Savard wet, dan is dat niet de makkelijkste vorm van integratie, om mee te beginnen.

Ik weet geen sites, maar ik kan je wel een begin uitleg geven. Voor het echte basis begin voor calculus moet je maar kijken op http://www.howtodogirls.com/download.php. Daar zijn meisjes in Bikini die je Calculus uitleggen, mocht je het niet begrijpen is het allicht nog steeds boeiend om naar te kijken.

Ik begin met een algemeen verhaaltje dan ga ik door naar het voorbeeld van Biot-Savard waar je al eerder om had gevraagd. Hou er rekening mee dat wat je nu vraagt, erg lastig is, en mensen hier veel moeite mee hebben en lang op moeten leren. Dus via het forum is niet zomaar zo makkelijk om het even uit te leggen. Ik ga toch een poging wagen.

Integreren is niets anders dan oppervlak uitrekenen. Je rekent het oppervlak uit onder bijvoorbeeld een grafiek. Stel je voor dat je een grafiek hebt. Als je dan het oppervlak onder deze grafiek wilt weten dan zou je er allemaal kleine rechthoekjes onder kunnen plaatsen. Een smalle rechthoek van de lijn y=0 tot aan de lijn van de grafiek. Omdat de grafiek soms hoger is en soms lager, zullen de rechthoeken niet allemaal even hoog zijn (je maakt ze wel even breed). Net zoals je differentieren hebt geleerd met allemaal raaklijnen die steeds kleinere delta x en delta y gebruikten, moet je met integreren ook steeds smallere rechthoeken nemen om zo goed mogelijk het oppervlak onder de grafiek te benaderen. Als je nou infinitesimale oppervlaktes hebt en je telt al die oppervlaktes bij elkaar op, dan heb je de zogenaamde Riemann som.

Dus je hebt een ingewikkelde curve waar je niet zo makkelijk de oppervlak van kan uitrekenen want lengte keer breedte gaat hier niet op. Dat gaat wel op voor kleine rechthoekjes. Als je nou infinitesimaal dunne rechthoekjes neemt dan zal zelfs, hoe vreemd de curve ook is, de bovenkant van die rechthoekjes (waar de curve loopt) recht zijn, en dan kan je gewoon lengte keer breedte doen. Tel dan al die rechthoekjes bij elkaar op en dan heb je een Riemann som, bij infinitesimaal kleine rechthoekjes heb je een integraal.

Integreren is het omgekeerde van differentieren. Dus als je x^2 wil differentieren komt daar 2x uit, en als je 2x wilt integreren naar x dan komt daar x^2 weer uit. Als je x integreert naar x komt daar 0.5x^2 uit. Als je voor het eerst met simpele integralen omgaat dan kan je het beste je bedenken welke formule je zou kunnen differentieren om de gevraagde integraal te krijgen. Dus als je x moet integreren moet je je bedenken wat je zou kunnen differentieren zodat er x uitkomt, en dat is 0.5x^2. Dit is de fundamentele regel van Calculus zoals deze heet.

Wat doe je nou bij Electriciteit en Magnetisme (ik neem even aan dat je het nog steeds over de Biot-Savard wet hebt). Hier tel je niet oneindig kleine rechthoekjes bij elkaar op, maar hier tel je hele kleine ladinsdichtheidjes bij elkaar op. Je bent vast wel de Wet van Coulomb tegen gekomen die verteld hoeveel kracht een electrische puntbron heeft naar zijn omgeving. Die wet is ook begonnen met 1 bron te kijken hoeveel invloed deze heeft op een bepaald punt, dan haal je er een tweede bron bij, en kijk je hoeveel die twee samen aan invloed hebben. Het fijne van E&M is dat er sprake is van het superpositie principe. Dit wil zeggen dat je gewoon kan kijken naar een individuele puntbron aan electriciteit en de kracht uitgaande van die bron kan meten, en vervolgens naar een andere puntbron in de buurt kan kijken en die twee gewoon met elkaar kan optellen. (uiteraard rekening houdend met dat de ene bron verder weg van de test plek is, en dus minder kracht uitoefent).

Al die punt bronnen bij elkaar optellen, levert je ook weer een grote som op, zeker als je een zogenaamd electrisch veld hebt. Het veld kan je eigenlijk zien als oneindig infinitesimale kleine punt bronnetjes. Als je al die bronnen bij elkaar optelt, krijg je een Riemann som, en verdomd als het niet waar is, een integraal.

Dus wat je gebruikt hebt om de oppervlak onder een grafiek uit te rekenen, kan je nu gebruikken om de gezamelijke kracht van een veld uit te rekenen. Dit electrisch veld heet het E veld.

Je zou ook het magnetische veld kunnen uitrekenen om bijvoorbeeld een draad heen. Ik heb gezien op het forum dat je weet dat dat nogal vreemd eruit ziet. Het magneet veld draait zogezegd om de draad heen, dmv de rechthand regel. Het kruisproduct in de Biot-Savard regel, zorgt hiervoor. Je weet wel die vreemde x die erin stond (wat helaas geen simpel maal teken was, en het een van de naardere struikelblokken maakt voor vele natuurkunde studenten) dat is het kruisproduct. Het zorgt ervoor dat alhoewel de stroom de ene kant oploopt, de kracht de andere kant op duwt en het magneetveld weer een andere kant op duwt.

Ik ga de Biot savard wet opschrijven voor een lijn stroom, daarmee bedoelen we dus een stroom die in 1 dimensie gaat, dit geld voor bijvoorbeeld een dunne draad. (je kan ook oppervlakte stromen hebben, over een breede plaat, (Je moet je daar een soort oppervlak van een rivier bij voorstellen, waar je kan kijken hoeveel er onder je langs stroomt) of door een volume heen. (hier moet je je een visnet voorstellen wat in een rivier ligt om bijvoorbeeld zalm te vangen. Als je kijkt hoeveel water er door het net stroomt, zoveel inhoudsstroom heb je dan)).

B® = (Mu0 / 4pi) * INT ( I x rdakje ) / (r^2) dl

Dit is de biot savard wet voor een lijn stroom. Belangrijk is hier dat de stroom gewoon stroomt, en dat het lijkt alsof het oneindig lang doorstroomt. Steady Current zoals dat heet, dus een continue stroom van ladingsdragers (electronen) en geen ophopingen. (In praktijk kan je zelf de Biot Savard wet nog heel redelijk gebruiken voor wisselstroom, waar het 50! keer per seconde de stroom omdraait. Dus het komt niet zo nauw, maar ik moet het er ff bijzetten. De afgeleide van de stroom I is dus gelijk aan 0)

Ok hier is Mu0 de permeabiliteit (gewoon constante), en 4Pi is gewoon vier keer Pi, dan moet je I kruisproduct r dakje delen door schuingedrukte r en dat integreren. I is gewoon je stroom, r dakje is de eenheidsvector (kom ik nog op terug), en de schuine r is je afstand van de plek waar de ladingsdrager zit en je test punt.

Kijk wat bedoel ik met test punt, daar bedoel ik mee waar je het magneetveld gaat uirekenen. Je wilt bijvoorbeeld een magneetveld berekenen 30 cm vanaf een draad waar stroom doorheen loopt. Dan is de schuine r die 30 cm.

Ok wat moet je nou doen bij het probleem van de draad waar je 30cm boven het magneetveld wilt weten. Je bekijkt hele kleine infinitesimale stukjes van de draad wat daarvan de magnetische invloed is op je testpunt en telt dat bijelkaar op. Je hebt dus een draad, en daarboven je test punt, en je gaat gewoon millimeter voor millimeter bekijken wat de losse invloed is van alleen zo'n klein stukje draad op het gezamelijke magneetveld in je testpunt (laten we het punt P noemen). Eigenlijk ga je uit in dit soort sommen van een oneindig lange draad (vaak is het een redeljke benadering) en je begin in -oneindig en gaat dan infinitesimaal stukje voor infinitesimaal stukje kijken wat de invloed is in punt P op het magneetveld. Dit is de Riemann som, en dat word je integraal.

Tot slot is dl een manier om aan te geven dat je in de richting van de draad gaat tellen. Als je draad op je x-as ligt dan zeg je dx, als je met andere coordinaten werkt, dan zeg je iets anders.



Goed dan nu een voorbeeld uit: Introduction to Electrodynamics 3rd edition van David J. Grifiths ISBN 0-13-919960-8 Blz. 217.

Het voorbeeld wat je hierboven ziet gaat dus om een simpele lijn stroom. Ik heb in het plaatje de benodigde goniometische bewerkingen neergezet. Waar je mee begin is alles uit te drukken in 1 variabele. In dit geval heb ik Hoek t (van theta) uitgekozen. Ik kan nu elke lengte van de draad uitdrukken in verschillende hoeken tan(t). Als ik een oneindig lange draad neem, dan is het alsof t gelijk is aan 180 graden, dus van -90 graden tot +90 graden (snap je dat?) dus dan reken je de integraal uit van -Pi/2 tot +Pi/2.

Dus de lengte van de draad of het stuk draad kan je met de tangens vna hoek t doen, en als je een infinitesimaal stukje draad wil hebben (herriner je je dl nog, dat was het stukje draad waar je over integreerd) in dit geval is dl de gedifferentieerde l, want het is een klein stukje van lengte l en al die kleine stukjes bij elkaar levert je de volledige toevoeging aan het magnetisch veld op. Dus l = s tan(t), dus de gedifferentieerde vorm is dl = s / cos^2(t) dt. Verder is r gelijk aan s / cos(t). Dit volgt uit elementaire goniometrie van de middelbare school. Er staat in Biot savard r^2, en eigenlijk deel je door r^2 dus dat levert 1/r^2 op en dat is cos^2(t)/s^2 op.

Dan kunnen we alles in gaan vullen op 1 ding na. Stel je nou voor dat je al die stukjes van de draad bij elkaar opteld, dan werken ze niet allemaal even hard mee, want zoals je kan zien aan de pijl die schuin door punt P heen gaat, duwen ze allemaal onder een andere hoek. Dus iets wat van heel ver onder een hele schuine hoek binnenkomt telt niet even hard mee als het magnetische veld veroorzaakt door een stukje stroom wat net onder punt P doorloopt en recht naar boven punt P uit het papier drukt. Dus je moet nog (en dat heeft met het kruisproduct te maken) een extra cos(t) erbij doen, om rekening te houden met de schuinheid van binnenkomst van het magnetisch veld.

Nu kunnen we wel alles invullen:

(De stroom is constant en kunnen we gelukkig nu buiten de integraal halen, omdat we die cos(t) toegevoegd hebben)

B = (Mu0)I / 4Pi INT( (cos^2(t)/s^2)(s / cos^2(t)) cos(t) dt

Want : (Mu0)I / 4Pi INT( ( 1 / r^2)(dl-->dt)(extra factor) dt

Je hebt een constante (al die mu0 en 4Pi ****) die vermenigvuldig je met de integraal van 1/ de afstand in het kwadraat die er nog stond, vermenigvuldigt met de omschrijving die je hebt gedaan om dl in dt om te schrijven, vermenigvuldigt met de extra factor, en dat alles integreer je over de afstand van je draadje. Dus een bepaalde hoek t tot een bepaalde andere hoek t.

Je kan nu een hoop wegstrepen en dan hou je over:

(Mu0)I / (4Pi)s INT(cos(t) dt) van t1 tot t2 = (Mu0)I / (4Pi)s (sin(t2)-sin(t1).

Dit was een heel simpel voorbeeldje uit het boek, en ik hoop dat het een beetje duidelijk is, als ik ff een schoolbord zou hebben en je zou in de buurt zijn, zou het waarschijnlijk een stuk duidelijker zijn. Ik moet nu echt eten gaan koken voor vanavond, dus ik hoop dat het een beetje duidelijk is. Ik controleer het later wel op heftige spellings en gramatica fouten die er ongetwijfeld in zitten.

EDIT: Ondertussen hebben TD en Syd al nuttige dingen gezegd waar ik het eens mee ben. Het is een belangrijk onderwerp en je kan het beste dit gewoon uit een leerboek leren, ik heb je een ding gegeven wat je pas na een flinke tijd ermee bezig te zijn krijgt. Als je dit wilt leren zou ik zeker (zoals je al over zat te twijfelen) natuurkunde gaan studeren. Dan wordt het allemaal een stuk duidelijker. En man wat ben ik soms lang van stof.

Mooie, uitgebreide uiteenzetting over die concrete toepassing, ik wist niet dat Antoon eigenlijk op zoek was naar uitleg over Biot & Savart.

Wat het integraalbegrip louter wiskundig betreft wil ik wel enkele kleine puntjes aanstippen.

Om te beginnen moeten we een verschil maken tussen integreren ('bepaalde integraal': zoals het bepalen van een oppervlakte onder een kromme) en het primitiveren (ook wel het zoeken van een 'onbepaalde integraal').

Dit laatste lijkt het omgekeerde van differentiëren maar strikt genomen is het dat niet, althans niets in de wiskundige zin van 'inverse operatie'. Dit komt omdat je bij het differentiëren alles wat constant is verliest. Omgekeerd zal je van een functie de primitieve functie slechts steeds kunnen bepalen op een (integratie)constante na.

Zo is 'de' primitieve functie (eigenlijk dus oneindig veel) van 2x niet x²; maar x² + C met C een constante. Inderdaad, leid dit laatste af en je vindt ook 2x.

SQ ik wil je bedanken voor je leerzame post.

Ik heb er veel van geleerd, ik moet nog wel het één en ander goed doorlezen. (waar onder dat kruis product enzo)

Ik weet hoelang ik zelf wel een bezig ben met posts , en als ik dan kijk naar jou post(waar ik niet in de buurt van kan komen) dan weet ik hoe dankbaar ik je kan zijn.

Ik wou het inderdaad voor de biot Savart wet doen ja. en ik sla altijd formule's over met intergralen erin. en ik vondt dat het tijd was dat dat moest ophouden.

Graag gedaan. Het is alleen niet de makkelijkste formule waar je mee begint kwa toepassing. Door dat kruisproduct zijn praktische voorbeelden vaak erg moeilijk uit te rekenen. Je zou beter met wat simpelere sommen kunnen beginnen zoals, oppervlaktes en inhoud uitrekenen. Je probeert nu met een integraal om te gaan die je pas aan het einde van je eerste universitaire jaar Natuurkunde krijgt nadat je een halfjaar met integreren bezig bent geweest.