Springen naar inhoud

[wiskunde] zwaartelijnen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

PJ

    PJ


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 oktober 2005 - 08:42

Twee zwaartelijnen in de driehoek ABC, de ene met lengte 9 en de andere met lengte 12, staan loodrecht op elkaar. Bereken de oppervlakte van de driehoek ABC.


Wie helpt mij hiermee uit de brand.
MVG PJ

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jerome

    Jerome


  • 0 - 25 berichten
  • 20 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 26 oktober 2005 - 10:37

We hebben een driehoek ABC
We hebben een zwaartelijn CM met een lengte van 9
We hebben een zwaartelijn AN met een lengte van 12
CM en AN snijden in punt S

CS en SM staan in verhouding 2:1
CS = 6
SM = 3
AS en SN staan in verhouding 2:1
AS = 8
SN = 4

AC = (CS^2+AS^2)^(1/2) = (6^2+8^2)^(1/2)=10
CN = (CS^2+SN^2)^(1/2) = (6^2+4^2)^(1/2)=7.2
CB = CN*2 = 7.2*2 = 14.4

oppervlak ABC = 0.5 * AC * CB * sin(hoek C)
hoek C is opgedeelt in 2 stukken.

We berekenen de hoek C in driehoek ASC.
tan(hoek C1) = AS / CS = 8/6
hoek C1 = atan(8/6) = 0.93 rad = 53.1 grad

We berekenen hoek C in driehoek CSN
tan(hoek C2) = SN / CS = 4/6
hoek C2 = atan(4/6) = 0.58 rad = 33.7 grad

hoek C = C1+C2 = 53+34 grad = 86.8 grad

oppervlak ABC = 0.5 * AC * CB * sin(hoek C)
oppervlak ABC = 0.5 * 10 * 14.2 * sin(86.8 grad)
oppervlak ABC = 72

opmerking:
Ik weet niet of de verhouding tussen CS en SM en de verhouding tussen AS en SN kloppen. Mijn berekening kan dus helemaal fout zijn.

#3


  • Gast

Geplaatst op 26 oktober 2005 - 15:09

Jerome, ik kan je gerust stellen. Je aanname CS:SM=2:1 is correct en je berekening ook.
Alleen kan het helemaal met verhoudingen berekend worden. En daarmee de vraag aan PJ: moet het niet met gelijkvormigheid opgelost worden?

#4

PJ

    PJ


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 oktober 2005 - 21:36

Ja gelijkvormigheid is ook goed.
Alle mogenlijkheden mogen benut worden. Ik heb geprobeerd met gelijkvormigheid maar dan nog valt bij mij het kwartje niet helemaal iemand een idee (safe miss )

Bij voorbaat dank jongens

#5


  • Gast

Geplaatst op 30 oktober 2005 - 22:56

Driehoek ACS noemen we een 3,4,5-drieh (deze is rechthoekig in S).
AC=10 wegens 6,8,10 (gelijkvormigheid)
AC beschouwen we als de basis van drieh ABC.
De hoogte van S in drieh ACS tov AC is (wegens gelijkvormigheid) 4.8 nl 4*1.2.
S is echter zwaartepunt van drie ABC en dus is de hoogte van B tov AC 3*4.8.
De opp van drieh ABC is dan 1/2*10*3*4.8=72.
(Dit is de kortste berekening die zelfs uit het hoofd gedaan kan worden)

#6


  • Gast

Geplaatst op 31 oktober 2005 - 12:47

Deze is ook wel handig: de opp van een trapezium is de helft van het
product van zijn diagonalen (loodrecht).

De twee zwaartelijnen leggen zo'n trapezium vast en wegens gelijk-
vormigheid ook 3/4 van de oppervlakte van de driehoek ABC. Dus de
opp van ABC is (4/3)*(1/2)*9*12 = 72.

#7


  • Gast

Geplaatst op 31 oktober 2005 - 13:14

Dit is nog mooier!
Alleen moet je nog uitleggen welke gelijkvormigheid je (in het tweede deel) gebruikt.

#8

PJ

    PJ


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 31 oktober 2005 - 20:42

Heey jongens geweldig dat jullie zo bereid zijn mij te helpen. De berekening van safe is duidelijk net als die van "gast" alleen hoe bewijs ik dan de gelijkvormigheid in het 2e deel.

groeten pj

#9


  • Gast

Geplaatst op 01 november 2005 - 18:17

Ik laat dit graag aan 'Gast' over, anders kan ik je nog wel uit de brand helpen!

#10


  • Gast

Geplaatst op 01 november 2005 - 19:13

PJ, teken die driehoek ABC. Je hebt dan ook dat trapezium getekend waar
ik het over had. Je ziet nu dat ´de punt´ van de driehoek nog oppervlakte
heeft welke niet in het trapezium zit.

Welnu, omdat de ene zijde van het trapezium (dit is AC = 10) twee keer
zo groot is als de andere zijde (vergelijk: een 3-4-5 driehoek t.o.v. een
6-8-10 driehoek, wat volgt omdat je twee zwaartelijnen hebt gebruikt die
lijnstukken 1 : 2 verdelen), is ´de punt´ van driehoek ABC een driehoek
die zowel in lengte 2x als in breedte 2x zo klein is. Dus de oppervlakte
van ´de punt´ is 1/4 van die van driehoek ABC. Dus het trapezium heeft
3/4 van de oppervlakte van driehoek ABC.

Dus de oppervlakte van driehoek ABC is 4/3 maal de oppervlakte van het
trapezium.

P.S. Omdat je gebruik maakt van een stelling m.b.t. een trapezium (die
wellicht niet iedereen kent en die je dus eigenlijk zou moeten bewijzen),
is het wellicht verstandiger om in dit stadium van je (wiskunde-)studie
voor de uitwerking van Safe te kiezen: deze bevat niks ´geheimzinnigs´.
Je ziet wel: hoe meer stellingen je kent, hoe makkelijker het wordt.

#11

PJ

    PJ


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 november 2005 - 19:46

allereerst bedankt voor de vele reacties maar ik zie nog steeds niet hoe jullie van die driehoek een trapezium gaan maken. Kan iemand mijn miscchien uitleggen hoe ik hem moet tekenen zodat ik de methodes van safe en die andere gast kan checken. Ik heb al heel wat tekeningen gemaakt maar het kwartje wil bij deze som maar niet vallen.

alvast harstikke bedankt,
pj

#12


  • Gast

Geplaatst op 01 november 2005 - 20:10

PJ, pak potlood en papier, hier komt ie:

Ik zal je precies vertellen wat je moet tekenen zodat het stukje
van Safe en het stukje van mij naadloos aansluiten bij de tekening:
- Teken punt A boven;
- Trek een lijn vanuit A recht naar beneden met lengte 12;
- Noem de onderkant Q van deze ´zwaartelijn´;
- Verdeel deze lijn in twee stukken met lengten 2 : 1 zo dat het bovenste
stuk dus 8 lang is en het onderste stuk 4 lang;
- Het punt dat deze ´zwaartelijn´ in 2-en deelt noem je S (zwaartepunt);
- Trek nu door S een lijn zo dat het stuk rechts van S dan 6 lang is en het
stuk links van S dan 3 lang is, dit is je tweede ´zwaartelijn´;
- Het punt aan het uiteinde helemaal rechts is nu hoekpunt C;
- Het punt aan het uiteinde helemaal links is nu punt P.

Merk op: je hebt nu een 6-8-10 driehoek ACS en je hebt een 3-4-5
driehoek QPS, en driehoek ACS ~ driehoek QPS (~ = gelijkvormig met)

Merk op: APQC is het trapezium met diagonalen AQ en PC.

We gaan verder:
- Trek nu door A en door P een lijn behoorlijk lang;
- Trek ook door C en door Q een lijn zo lang dat deze de lijn door A en
P snijdt, het snijpunt noem je B.

Merk op: je hebt nu driehoek ABC in zijn geheel getekend.

- In mijn uitwerking is driehoek PBQ ´de punt´ van driehoek ABC.
Je ziet nu ook dat driehoek PBQ ~ driehoek ABC.

- In de uitwerking van Safe trek je door S een lijn loodrecht op AC.
Deze lijn blijkt 4,8 lang te zijn. Je weet nu dat de hoogte van driehoek
ABC ten opzichte van de basis AC 3 maal 4,8 = 14,4 is, omdat je te
maken hebt met zwaartelijnen.

#13

PJ

    PJ


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 02 november 2005 - 18:34

Jongens ik heb de opgave af, natuurlijk ook niet zo moeilijk na al jullie hulp. Ik wil gast en safe echt mega bedanken voor alle support echt grote klasse jongens.

gr pj

#14


  • Gast

Geplaatst op 02 november 2005 - 18:40

Graag gedaan, PJ!

#15


  • Gast

Geplaatst op 03 november 2005 - 22:51

uren op gerekend om er vervolgens achter te komen dat klasgenoten de antwoorden al ontvangen hebben:p





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures