Springen naar inhoud

richtingsafgeleiden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2005 - 14:11

In verband met de minicursus ART wil ik het volgende checken:

gegeven : de functie f(x,y)

afgeleide in de x richting = df/dx
afgeleide in de y richting = df/dy

een willekeurige richting kan gegeven worden door dr= a dx+ b dy met a en b constanten die de richting bepalen

via de kettingregel krijgen we voor de afgeleid in de richting dr

df/dr= df/dx dx/dr + df/dy dy/dx

met dr/dx= a + b dy/dx met dy/dx = 0 dus dr/dx = a
en dr/dy = b

df/dr = a df/dx + b df/dy

of maw de richtingsafgeleiden is een vectorruimte.
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 oktober 2005 - 14:24

Idr= a dx+ b dy met a en b constanten die de richting bepalen

Ik weet niet of je dr wel op die manier kan definieeren. Ik zou zeggen dat het of dr = :roll:(dx2 + dy2) of dr = dx ex + dy ey is.

df/dr= df/dx dx/dr + df/dy dy/dx

dy / dr neem ik aan

dr/dx = a en dr/dy = b
df/dr = a df/dx + b df/dy


Als het al tot zover goed was, dan klopt dit niet:
df / dr = (df/dx) / a + (df/dy) / b

of maw de richtingsafgeleiden is een vectorruimte.

Met deze conclusie ben ik het wel eens.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#3

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2005 - 16:37

Ik weet niet of je dr wel op die manier kan definieeren. Ik zou zeggen dat het of dr = (dx2 + dy2) of dr = dx ex + dy ey is.


Je kan er komen via een assentransformatie.

je draait de x-as tot de gewenste richting , je krijgt volgende assentransformatie

r= x cos theta.gif + y sin theta.gif
t= -x sin theta.gif + y cos theta.gif

dr= :) z/:P x dx + :P z/:roll: y dy

met :D z/:P x =-sin theta.gif
en :P z/:P y =cos theta.gif

of dr= a dx + b dy

Baert verder had je natuurlijk gelijk over het hoge aantal onzorgvildigheden in mijn post
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

#4

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 oktober 2005 - 19:19

In verband met de minicursus ART wil ik het volgende checken:

gegeven : de functie f(x,y)

afgeleide in de x richting = df/dx
afgeleide in de y richting = df/dy

Zo zou ik niet niet formuleren: ∂f/∂x is de afgeleide bij constante y. Dat is alleen maar hetzelfde als de afgeleide in x-richting als de x-as en de y-as loodrecht op elkaar staan.

#5

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 10:05

Zo zou ik niet niet formuleren: ∂f/∂x is de afgeleide bij constante y. Dat is alleen maar hetzelfde als de afgeleide in x-richting als de x-as en de y-as loodrecht op elkaar staan.


Is dit zo? en zo ja waarom
Hoe bereken je dan bv een richtingsafgeleide in een poolcoördinatenstelsel?
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

#6

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 13:32

Zo zou ik niet niet formuleren: ∂f/∂x is de afgeleide bij constante y. Dat is alleen maar hetzelfde als de afgeleide in x-richting als de x-as en de y-as loodrecht op elkaar staan.


Is dit zo? en zo ja waarom
Hoe bereken je dan bv een richtingsafgeleide in een poolcoördinatenstelsel?

Dat is zo omdat het de definitie van partiele afgeleide is.
Stel bijvoorbeeld dat je een functie f(x,y)=x+y hebt en dat je een coordinaten transformatie y=x+y' toepast (x-coordinaat blijft gelijk)
De functie wordt dan (een beetje slordig genoteerd) f(x,y')=2x+y' en er geldt: ∂f(x,y)/∂x=1 en ∂f(x,y')/∂x=2. Als je de partiele afgeleide naar x interpreteert als een afgeleide in x-richting dan is de afgeleide in x-richting dus veranderd terwijl je juist met de x-coordinaat niets gedaan hebt.

#7

peterdevis

    peterdevis


  • >1k berichten
  • 1393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 16:01

Bert ik ga met je akkoord over het verschil tussen partiele afgeleide en richtingsafgeleide. En ja indien de assenkruisen niet loodrecht op elkaar staan zit je inderdaad met een schaalverschil (simpel genomen neem je dan een richtingsafgeleide met een vector die groter is dan de eenheidsvector) Juist ?

In je voorbeeld is echter een fout geslopen. De voorgestelde assentransformatie is een draaiing van de x-as.
het zien duurt een seconde, de gedachte blijft voor altijd
"Blauw"

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 22:15

Bert ik ga met je akkoord over het verschil tussen partiele afgeleide en richtingsafgeleide.

Je kan het concept 'richtingsafgeleide' als een veralgemening van de partiële afgeleide zien. De partiële afgeleide is immers een maat voor de aangroei langs een bepaalde coördinaatsas terwijl de richtingsafgeleide toelaat dit te bepalen volgens een willekeurige richting. Bovendien is er een direct verband tussen (het bestaan van) richtingsafgeleiden en differentieerbaardheid van functies.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures