Springen naar inhoud

dimensies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

jwaixs

    jwaixs


  • >25 berichten
  • 33 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 07:04

Hallo,

Eigenlijk behoren de dimensies niet echt tot de wiskunde, maar dimensies zijn wel in wiskundige termen uit te leggen. De eerste tot de 3de dimensie passen gewoon op een assenstelsel. Maar hoe moet ik mij nu hogere "dimensies" voorstellen op een assenstelsel, of als voorwerpen. Ik wil dus niet weten hoe het zit met de natuurkundige benadering ervan (4de dimensie --> tijd) maar echt qua vormen. Is dit uberhaupt wel voortestellen? En hoe ziet de wiskunde daaromheen er dan uit?

Groeten,

Noud

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 09:36

Mijn mond viel even open toen ik las dat de dimensies niets met wiskunde te maken hebben. Zeer grote delen van de wiskunde houden zich bezig met eigenschappen in hogere dimensies, vaak oneindige dimensies.
Voorwerpen die bestaan in een dimensie hoger dan 3 kun je niet "zien" in een 3-dimensionale wereld. Toch kan ik een kubus (3-dimensionaal) tekenen op een vlak papier. Je maakt daarbij gebruik van projecties.
Voorwerpen in hogere dimensies kun je projecteren in lagere dimensies.
Een kubus die ik op papier heb getekend kun ik herkennen omdat ik weet hoe kubussen eruit zien in een 3-dimensionale wereld.
Als ik een voorwerp uit een 4-dimensionale wereld projecteer in een 3-dimensionale dan heb ik het probleem dat ik niet weet hoe het origineel er in de 4-de dimensie uitzag. Ik zie dan alleen de projectie en dat is verwarrend.
Voorwerpen uit een hogere dimensie moet je je ook niet voor willen stellen. Je kunt er mee rekenen {b.v. x^2+y^2+z^2+t^2+q^2=1 is de vergelijking van een 5-dimensionale "bol" met straal 1 om de oorsprong (0,0,0,0,0)}.
Je kunt een 5-dimensionaal voorwerp wel zichtbaar maken door er plakjes van te nemen, dat wil zeggen door het voorwerp te snijden met een 2-dimensionaal vlak, of een 3-dimensionale ruimte.

#3


  • Gast

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 10:04

Wiskundigen maken in het algemeen alleen onderscheid tussen eindig dimensionale ruimten (ruimten van dimensie 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) en oneindig dimensionale ruimten. Ik zal enige voorbeelden geven om dit toe te lichten.

Voorbeelden van eindig-dimensionale ruimten zijn:
-Euclidische 3-dimensionale ruimte (de vertrouwde ruimte om ons heen)
-Minkowski ruimte (4-dimensionale ruimte uit de relativiteitstheorie)
Maar ook abstractere dingen zoals:
-Ruimte van m x n-matrices
-Raakruimten aan gladde krommen, oppervlakken, volumes, etc.
Voorbeelden van oneindig dimensionale ruimten:
-Ruimte van continue functies op de reŽle as
-Ruimte van differentieerbare functies die Fourier-getransformeerd kunnen worden
etc. etc. etc.

Omdat oneindig dimensionale (vector)ruimtes zich anders gedragen dan eindig dimensionale, besteden wiskundigen veel tijd aan het bestuderen van (specifieke) oneindig dimensionale ruimtes. Zoals uit de voorbeelden blijkt komt dit vaak neer op ruimtes van functies en meer van dat soort dingen.
Eindig dimensionale ruimtes worden meestal op een grote hoop gegooid (d.w.z. tegelijk bestudeerd doordat men de dimensie willekeurig laat). Het enige verschil tussen 0, 1, 2 of 3 dimensies en hoger is dat je voor hogere dimensies geen plaatjes kunt maken. Als er stellingen voor hogere dimensies worden bewezen, dan kun je dat zeker niet doen met plaatjes (alhoewel je wel vaak tweedimensionale plaatjes ziet om het idee van zo'n bewijs te illustreren).

#4


  • Gast

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 22:00

Wat me opvalt is dat mensen het steeds hebben over "de vierde dimensie" of iets dergelijks. Wiskundig gezien is dit echter onzin, omdat er helemaal geen ordening bestaat in dimensies. In bijvoorbeeld een vierdimensionale ruimte zijn gewoon 4 dimensies. Er is geen vastgestelde volgorde om dimensies te kiezen.

Overigens, voor eindig dimensionale vectorruimten is het aantal dimensies gedefinieerd als het maximaal aantal onafhankelijke vectoren dat je kunt kiezen. Zo'n stelsel van onafhankelijke vectoren heet een basis. Bijvoorbeeld voor de Euclidische driedimensionale ruimte (R^3) zou je als basis de vectoren {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} kunnen nemen, maar er is niets op tegen om bijvoorbeeld {(1,-1,1), (0,1,1), (0,2,1)} te nemen. Merk op dat de basisvectoren niet op een of andere manier geordend zijn. Praten over "de zoveelste dimensie" is dus onzinnig. Het zou afhangen van de basiskeuze die je hebt gemaakt. Als je dan gaat praten met iemand die een andere basis heeft gekozen, dan zou je elkaar niet goed kunnen begrijpen.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 22:10

Wat me opvalt is dat mensen het steeds hebben over "de vierde dimensie" of iets dergelijks. Wiskundig gezien is dit echter onzin, omdat er helemaal geen ordening bestaat in dimensies. In bijvoorbeeld een vierdimensionale ruimte zijn gewoon 4 dimensies. Er is geen vastgestelde volgorde om dimensies te kiezen.

Dit komt uiteraard vooral door de fysische interpretatie, met de welbekende 3 ruimtelijke dimensies en dan "de vierde" dimensie, namelijk tijd.

Ik zag ook dat er een aantal voorbeelden van eindigdimensionale ruimtes werden gegeven, misschien ook een zeer eenvoudig voorbeeld van een oneindigdimensionale ruimte: de ruimte van de veeltermen (van willekeurige graad). Immers, van zodra je een basis hebt is er een vector met een maximale graad, veeltermen van hogere graad worden dan niet voortgebracht.

Wat die basis betreft even aanstippen dat een basis niet alleen lineair onafhankelijk moet zijn, maar ook voortbrengend (hetgeen wel voldaan is als je n lin. onafh. basisvectoren hebt in een n-dimensionale ruimte).

#6

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 november 2005 - 16:19

Alle off-topic gewauwel is hierheen verplaatst. Gelieve een beetje on-topic en binnen de geaccepteerde natuurkunde te proberen te blijven....
Never underestimate the predictability of stupidity...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures