Springen naar inhoud

Limietberekening (met l'Hopital?)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 14:00

Volgende limiet zou uitkomst 1 moeten geven:

lim ln x . cotg(x-1) [Met x gaat naar 1]
x->1

Ik ben als volgt begonnen (al dan niet correct):

=> lim ln x . cotg (x-1) [levert een 0 maal 0 op ...]

=> lim ln x / 1/cotg(x-1) [1/cotg(x-1) = tg(x-1)]

=> lim ln x / tg(x-1) [Regel van l'Hopital toepassen]

=> D(ln x) = 1/x

=> D[tg(x-1)] = D(tg x) - D(tg 1) = 1/cos≤x - 0

=> lim cos≤x / x [Levert voor x=1 een 0 op 1 op]
[2de keer l'Hopital toepassen ?]

=> D(cos≤x) = -2 . cosx . sinx

=> D (x) = 1

=> lim -2 . cosx . sinx [kan herschreven worden dacht ik]

=> lim -sin(2x) [de uitkomst is fout . ( x=1)]

weet iemand hiervoor de oplossing ... ?

Mvg,

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 14:16

De methode was goed maar de uitvoering niet helemaal. Immers, cos(0) = 1.
Als je toch effectief 0/1 zou krijgen, dan was de limiet 0 en niet onbepaald (dus sowieso geen 2e L'Hopital)

Geplaatste afbeelding

#3

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 14:27

ow,

als k je goed begrijp dan was mijn fout dat ik dacht dat de afgeleide van 1/tg(x-1) = 1/cos≤(x)... in plaats van 1/cos≤(x-1). ik dacht dat je moest afleiden door te splitsen.

Dan geld deze methode ook voor de afleiding van ln(x-1) bijvoorbeeld ?
dan is de afgeleide ook 1/(x-1)...

thx

#4

Brownie

    Brownie


  • >250 berichten
  • 292 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 oktober 2005 - 14:35

ow,  

als k je goed begrijp dan was mijn fout dat ik dacht dat de afgeleide van 1/tg(x-1) = 1/cos≤(x)... in plaats van 1/cos≤(x-1).  ik dacht dat je moest afleiden door te splitsen.

Dan geld deze methode ook voor de afleiding van ln(x-1) bijvoorbeeld ?  
dan is de afgeleide ook 1/(x-1)...

thx

Jazeker, dat is de kettingregel f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)
In dit geval g(x)=x-1 dus g'(x)=1 -> makkelijk geval.
"Not everything that can be counted counts, and not everything that counts can be counted." (A. Einstein)

#5


  • Gast

Geplaatst op 31 oktober 2005 - 13:06

Ik moet er toch even op wijzen dat l'Hopital hier niet nodig is.

lim[x->1](lnx*cot(x-1)=lim[x->1](lnx/(x-1)*(x-1)/tan(x-1)=1, wegens de standaardlimieten: lim[x->1]lnx/(x-1)=1 en lim[x->0]sinx/x=1

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 31 oktober 2005 - 16:02

'Niet nodig' is relatief, het bepalen van de standaardlimiet sinx/x (x->0) die je aanhaalt volgt zelf ook eenvoudig uit l'Hopital.

#7

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 31 oktober 2005 - 16:06

nja, die standaardlimieten moet ge al kennen en ge kunt die bekomen door l'hopital toe te passen.. als ge ze kent ist handig, maar denk nie dat zo nen omweg was wat Zwolle deed.

juist nog 1 opmerking, op ene gegeven moment zeg je

=> lim cos≤x / x [Levert voor x=1 een 0 op 1 op]
[2de keer l'Hopital toepassen ?]

finja, je kwam fout tot die stap, maar je veronderstelling was ook fout
je DACHT cos (0)^2 / 1 => 0/1 => l'hopital

maar l'hopital is HIER helemaal niet meer nodig. Je hebt een perfect gedefinieerde breuk..
dus, stel dat er zou gestaan hebben
sin (0)^2 / 1 => 0/1
dan is de oplossing gewoon 0, niet verder l'hopital, nergens voor nodig!

#8

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 november 2005 - 16:31

maar toch moet je nog verder uitwerken om tot de oplossing te komen.

De uitkomst na 1 keer l'hopital was cos ^2(0)/1... = 1...

Verder oplossen is hier niet nodig als ik het goed begrijp wat jullie / jij bedoelt ... ?

mvg

#9

Andy

    Andy


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 november 2005 - 16:13

idd. eens je en getal uitkomt als waarde (dus niet 0/0, oneindig/oneindig, ...) dan het je je limiet gevonden...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures