Springen naar inhoud

somreeks van 1/(n^2)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

TDM-physics

    TDM-physics


  • 0 - 25 berichten
  • 7 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 01 november 2005 - 19:59

Hoi,

Ik ben benieuwd hoe je de somreeks van 1/(n^2) moest uitrekenen. De reeks loopt van n=1 tot n=oneindig. Er moest iets van (pi^2)/ 6 uitkomen..., maar hoe?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 november 2005 - 20:12

tja dat is inderdaad een mooi probleem maar het is ook niet evident

er zijn meerdere manieren

de eerste methode die ik zag (in ingenieursstudies ooit...) was met fourier
ontbindingen : je ontbindt x^2 op het interval [-Pi,Pi] met fourier

je bekomt dan de reeks Pi^2/3+sum(cos(k*x)*(-1)^k*4/k/k),k=1..infinity)
onder een reeks voorwaarden is dit op het interval [-Pi,Pi] precies de functie x^2
(die voorwaarden zijn meestal 'saai' in de zin van continu en afleidbaar en zo, maar je moet wel opletten als je gaat evalueren in randpunten eigenlijk)
nu wil dat dus zeggen dat je reeks ook klopt voor x=Pi

merk opdat voor gehele k cos(k*Pi)=(-1)^k

dus is Pi^2/3+sum((-1)^k*(-1)^k*4/k/k,k=1..infinity)=Pi^2
een beetje herschikken levert nu dat je gezochte som gelijk is aan Pi^2/6


dit bewijs is waarschijnlijk beetje raar maar er is ook een betere methode , via de complexe analyse, meer bepaald de residustelling, maar als je die niet kent is het bijna hopeloos om uit te leggen, dus laat me wat weten en dan leg ik het ff uit hoe dat gaat

het interessante is dat je met complexe analyse eigenlijk de reeks 1/ n^m
voor m=2,4,6,..... kunt berekenen (hoewel het na een tijd echt geen plezante berekening meer is), en het toffe is , je vindt altijd
Pi^m*(iets rationaal)

het vreemde is dat de reeks 1/n^m voor oneven m veel lastiger is

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 01 november 2005 - 20:34

Klopt, dat is de formule van Euler:
Geplaatste afbeelding

Om dit te bewijzen zijn er meerdere manieren, maar ze zijn bepaald niet triviaal.

Deze reeks heeft te maken met de bekende Riemann Zeta functie.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2005 - 08:12

Er is ook wel een eenvoudiger bewijs, d.m.v. een gesloten padintegraal ( -:P naar +:P en vervolgens via de "rand" van het complexe vlak weer terug naar -:roll:). Maar dan moet je de som omschrijven in een integraal en de residu-stelling gebruiken. Ik vind het inzichtelijker dan werken met de zeta-functie, maar het is nog steeds erg lastig en abstract (niveau ~2e jaars universitaire wis/natuurkunde).
Never underestimate the predictability of stupidity...

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2005 - 15:11

14 bewijzen hiervoor: http://www.maths.ex....c/etc/zeta2.pdf

#6

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2005 - 16:13

14 bewijzen hiervoor: http://www.maths.ex....c/etc/zeta2.pdf


Ja, leuk. Ik bedoelde dus bewijs 8 (alhoewel hij het zich wat moeilijker maakt door een ander contour te kiezen), maar ik denk dat dit ook van behoorlijk pittig niveau is. Het was een tentamensom voor mijn college complexe analyse, en daarom herinner ik hem me nog :roll:
Never underestimate the predictability of stupidity...

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24050 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2005 - 16:15

Wij hebben hem tijdens Complexe Analyse ook ooit afgeleid uit de reeks voor cotg(z).
Het lijkt eerst abstract maar als je er een keer wat bedreven in bent is de complexe analyse een erg krachtig werktuig.

#8

upsilon

    upsilon


  • >25 berichten
  • 93 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2010 - 15:25

14 bewijzen hiervoor: http://www.maths.ex....c/etc/zeta2.pdf

hmm die link werkt niet meer
BABBAGE





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures