Springen naar inhoud

[wiskunde B2] ellips


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 november 2005 - 16:40

Het punt S is de top van de parabool met brandpunt F. De raaklijn in P aan de parabool snijdt de as van de parabool in punt B. Q is de projectie van P op de richtlijn van de parabool. A is de projectie van P op de as.

Geplaatste afbeelding

Bewijs het volgende:
1) dat PQBF een ruit is
2) dat |AS| = |BS|

Hier kom ik echt niet uit *frustrerend* :roll:

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 02 november 2005 - 17:58

Wellicht kan het slimmer, maar dit is het eerste dat in me opkomt:

Deel I:

Volg de definitie van een parabool. Die zegt dat een parabool bestaat uit
alle punten die op gelijke afstand liggen van het brandpunt (eng: focus) F
en de richtlijn (eng: directrix). Dus |FP| = |PQ| per definitie. We weten
ook dat FB // PQ. We moeten dan nog laten zien dat |FB| = |PQ| en we
hebben bewezen dat PQFB een ruit is.

Kies de x-as door S. Noem P = (a,f(a)) en F = (0,s), dus Q = (a,-s).
Stel een vergelijking op voor de parabool:
|FP| = sqrt(a^2+(f(a)-s)^2) = f(a)+s = |PQ|, ofwel:
f(a) = a^2/(4s) en dus f´(a) = a/(2s).

Een vergelijking voor de raaklijn is dan:
y - f(a) = f´(a)(x-a)

De raaklijn snijdt de y-as als x = 0. Vul in:
y = f(a) + f´(a)(-a) = -a^2/(4s)

Dus |FB| = f + a^2/(4s) = |PQ|.

Deel II:
|AS| = |PQ|-|FS| = f(a) = a^2/(4s) = |BF|-|FS| = |BS|

#3

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 november 2005 - 20:01

Wellicht kan het slimmer, maar dit is het eerste dat in me opkomt:

Deel I:

Volg de definitie van een parabool. Die zegt dat een parabool bestaat uit
alle punten die op gelijke afstand liggen van het brandpunt (eng: focus) F
en de richtlijn (eng: directrix). Dus |FP| = |PQ| per definitie. We weten
ook dat FB // PQ. We moeten dan nog laten zien dat |FB| = |PQ| en we
hebben bewezen dat PQFB een ruit is.

Kies de x-as door S. Noem P = (a,f(a)) en F = (0,s), dus Q = (a,-s).
Stel een vergelijking op voor de parabool:
|FP| = sqrt(a^2+(f(a)-s)^2) = f(a)+s = |PQ|, ofwel:
f(a) = a^2/(4s) en dus f´(a) = a/(2s).

Een vergelijking voor de raaklijn is dan:
y - f(a) = f´(a)(x-a)

De raaklijn snijdt de y-as als x = 0. Vul in:
y = f(a) + f´(a)(-a) = -a^2/(4s)

Dus |FB| = f + a^2/(4s) = |PQ|.

Deel II:
|AS| = |PQ|-|FS| = f(a) = a^2/(4s) = |BF|-|FS| = |BS|


Is dit wel volgens de Wiskunde B2 regels en deffinities?
Ik kom er zelf niet uit....

#4


  • Gast

Geplaatst op 02 november 2005 - 21:37

Leuk, dit antwoord voor een parabool. Maar stel nu eens dat het echt een ellips is met zijn richtlijn. Gelijke afstanden worden dan gelijke verhoudingen.
Als je dan weer een raaklijn kiest en beide projecties intekent komt er dan weer een ruit uit? Kortom, kun je dit algemener maken, geldig voor elke kegelsnede? H.Z.

#5


  • Gast

Geplaatst op 02 november 2005 - 21:44

Euh, voor een ellips bestaat niet zo'n richtlijn.

#6

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 november 2005 - 22:14

Euh, voor een ellips bestaat niet zo'n richtlijn.


Jazeker wel, de richtlijn voor een ellips (in dit geval is het een parabool) is zeker van belang. Maar weet iemand hoe ik het moet bewijzen?

#7


  • Gast

Geplaatst op 02 november 2005 - 22:37

Leon, laten we wel wezen: voor een ellips is er niet zo´n richtlijn!

Voor de parabool als ´kegelsnede´ is er een richtlijn. De richtlijn geeft
aan de orientatie van de parabool in het xy-vlak. De eigenschap van een
parabool is dat deze bestaat uit alle punten die equidistant zijn tot het
brandpunt en de richtlijn.

Welnu, een ellips is een gesloten kromme in het xy-vlak met twee brand-
punten! Zo´n richtlijn kan niet bestaan. Een ellips bestaat uit alle punten
waarvoor geldt dat de som van de afstanden tot de twee brandpunten
constant is.

De ellips en parabool zijn beide kegelsneden maar niet dezelfde objecten.

Een bewijs staat er, maar ik heb geen idee wat voor wiskunde jij krijgt.
Geef anders aan in welke geest we het bewijs moeten zoeken.

#8


  • Gast

Geplaatst op 02 november 2005 - 22:39

PQ=BF, definitie parabool.
Wegens de spiegeleigenschap van de par. is de raaklijn in P aan de par. bissectrice (deellijn) van hoek FPQ met als gevolg dat PQBF een ruit is.
De raaklijn door S aan de par. snijdt PQ in C, dan is FCQS een parallellogram m.a.g BS=PC, dus ook BS=AS.

NB: de spiegeleigenschap moet een stelling in je boek zijn, anders moet deze nog bewezen worden (wat ik me niet kan voorstellen!).

#9


  • Gast

Geplaatst op 02 november 2005 - 22:43

Mooi Safe! Eigenlijk is de opgave evident gezien de spiegeleigenschap en
de definitie van een parabool. Maar deze keer ging ik voor de grondige
aanpak.

#10

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 november 2005 - 23:46

Leon, laten we wel wezen: voor een ellips is er niet zo´n richtlijn!

Voor de parabool als ´kegelsnede´ is er een richtlijn.

Je hebt gelijk, ik doelde op de parabool als kegelsnede.

PQ=BF, definitie parabool.
Wegens de spiegeleigenschap van de par. is de raaklijn in P aan de par. bissectrice (deellijn) van hoek FPQ met als gevolg dat PQBF een ruit is.
De raaklijn door S aan de par. snijdt PQ in C, dan is FCQS een parallellogram m.a.g BS=PC, dus ook BS=AS.

NB: de spiegeleigenschap moet een stelling in je boek zijn, anders moet deze nog bewezen worden (wat ik me niet kan voorstellen!).

Echter is PQ = BF niet bewezen (toch?)
Definitie van prabool is:
P op parabool met brandpunt F en richtlijn l: d(P,F) = d(P,l)
In dit geval is |PF|=|PQ|
Maar dat PQ = BF is niet bewezen als ik het goed zie.

We hebben Wisforta als hulpmiddel zoals Binas voor natuurkunde/scheikunde. Uit Wisforta (of formulekaart) mag ik de stellingen/definities gebruiken.

NB: de spiegeleigenschap moet een stelling in je boek zijn, anders moet deze nog bewezen worden (wat ik me niet kan voorstellen!).

Wat is de spiegeleigenschap? Die staat er niet in als stelling.

#11


  • Gast

Geplaatst op 03 november 2005 - 00:53

Over de spiegeleigenschap wil ik morgen nog wel wat kwijt. Voor nu:

Ik ging net de mist in, je hebt inderdaad gelijk: een ellips heeft inderdaad
ook richtlijnen! Blijkbaar sloot mijn intuitie voor wat een richtlijn zou
moeten zijn niet aan bij de wiskundige definitie; het is dan voor mij ook
al een hele tijd geleden. (Deze richtlijnen worden gedefinieerd met
behulp van de eccentriciteit).

#12


  • Gast

Geplaatst op 03 november 2005 - 10:01

PQ=PF, definitie van de parabool. (rectificatie).

De spiegeleigenschap van de parabool heeft deze benaming vanwege de toepassing in de natuurkunde.
Lichtstralen invallend langs de hoofdas van de par. worden teruggekaatst door het brandpunt. Dus, neem bv punt P, dan zal de raaklijn in P aan de par. opgevat kunnen worden als een vlakke spiegel m.a.g. dat de hoek van inval is de hoek van terugkaatsing en dit stemt weer overeen met de mathematische eig. dat de raaklijn in P bissectrice is van hoek FPQ. En deze stelling moet in je boek staan! Klopt dat?

#13

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2005 - 11:06

PQ=PF, definitie van de parabool. (rectificatie).

De spiegeleigenschap van de parabool heeft deze benaming vanwege de toepassing in de natuurkunde.
Lichtstralen invallend langs de hoofdas van de par. worden teruggekaatst door het brandpunt. Dus, neem bv punt P, dan zal de raaklijn in P aan de par. opgevat kunnen worden als een vlakke spiegel m.a.g. dat de hoek van inval is de hoek van terugkaatsing en dit stemt weer overeen met de mathematische eig. dat de raaklijn in P bissectrice is van hoek FPQ. En deze stelling moet in je boek staan! Klopt dat?


De spiegelwet (wat jij dus bedoelde) staat inderdaad in mijn boek, maar niet als stelling in de lijst van stellingen en definities (dat is wel vreemd).
Wat is m.a.g.?
Is in dit geval de hoek van inval = hoek FPB en hoek van terugkaatsing = hoek APB? De vlakke spiegel is dan de lijn |PB|? Anders snap ik niet zo goed welke hoek jij bedoelt.

#14

Leon985

    Leon985


  • >25 berichten
  • 92 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 november 2005 - 21:38

Hmm... het lukt me telkens niet om |PQ|=|FB| aan elkaar te praten. Dat het even lang is kan iedereen wel zien, maar aantonen :roll:
In elk geval heb ik al dat |FP|=|PQ|

#15


  • Gast

Geplaatst op 03 november 2005 - 22:43

Ik heb eventjes afgewacht of Safe zelf zou reageren.
Leon, m.b.v. de spiegelingseigenschap heeft Safe reeds laten zien dat
|PQ| = |FB|. Ter verduidelijking zal ik met andere woorden hetzelfde
zeggen:

- De spiegelingseigenschap houdt in dat lichtstralen evenwijdig aan de as
van de parabool allen door het brandpunt gaan. Dus een lichtstraal die
helemaal van boven komt (en als je hem zou doortrekken door de lijn PQ
zou gaan), treft de parabool in P en wordt weerkaatst in de richting van
het brandpunt F.
- Ter plaatse van P ´gedraagt´ de parabool zich als een hele kleine
vlakke spiegel die als het ware ligt op de raaklijn in P.
- De hoek van inval is de hoek die de lichtstraal maakt met het stuk van
de raaklijn rechts van P.
- Merk op dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek BPQ (omdat PQ
en de raaklijn in P elkaar snijden en rechte lijnen zijn).
- De hoek van uittrede is de hoek die de lichtstraal maakt met het stuk
van de raaklijn links van P, dus hoek FPB.
- Nu is bekend dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek van uittrede,
d.w.z. dat hoek BPQ = hoek FPB, dus PB is een bisectrice (dat is de lijn
die de hoek FPQ in tweeen deelt).
- Omdat |FP| = |PQ| per definitie en FB // PQ en BP bisectrice van hoek
FPQ kan het niet anders dat |FB| = |PQ|. (Immers, als FB en PQ niet
evenwijdig zouden zijn, alleen dan kan |PB| :roll: |PQ| )





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Vacatures