Bewijs het volgende:
1) dat PQBF een ruit is
2) dat |AS| = |BS|
Hier kom ik echt niet uit *frustrerend*
Laatste berichten
-
22:54
Herleiden afmetingen vanaf een foto 12
-
18:53
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
-
18:09
Rotatie van het heelal 32
-
17:19
Ervaringen met "herontdekkingen" 12
-
18 apr
hall effect in vloeistof gebruiken als stromingssensor 6
-
18 apr
Gezocht: de/een naam voor een getallenrij met een cauchyrij als partieelsommenrij
-
18 apr
Casus uit de praktijk: positief test THC 18
-
17 apr
speciale rel. theorie 4
-
17 apr
Vreemde stank in huis 11
-
17 apr
3 vragen over mijn rooskleurige r.berekening H2netGekoppeldeHBrflowbatterij.
-
17 apr
Interpretatie reactie-energie 3
-
17 apr
Logistic equation (Pierre Verhulst,Belgian Mathematician) 5
-
16 apr
vB 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
[wiskunde B2] ellips
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 92
[wiskunde B2] ellips
Het punt S is de top van de parabool met brandpunt F. De raaklijn in P aan de parabool snijdt de as van de parabool in punt B. Q is de projectie van P op de richtlijn van de parabool. A is de projectie van P op de as.
Bewijs het volgende:
1) dat PQBF een ruit is
2) dat |AS| = |BS|
Hier kom ik echt niet uit *frustrerend*
Bewijs het volgende:
1) dat PQBF een ruit is
2) dat |AS| = |BS|
Hier kom ik echt niet uit *frustrerend*
Re: [wiskunde B2] ellips
Wellicht kan het slimmer, maar dit is het eerste dat in me opkomt:
Deel I:
Volg de definitie van een parabool. Die zegt dat een parabool bestaat uit
alle punten die op gelijke afstand liggen van het brandpunt (eng: focus) F
en de richtlijn (eng: directrix). Dus |FP| = |PQ| per definitie. We weten
ook dat FB // PQ. We moeten dan nog laten zien dat |FB| = |PQ| en we
hebben bewezen dat PQFB een ruit is.
Kies de x-as door S. Noem P = (a,f(a)) en F = (0,s), dus Q = (a,-s).
Stel een vergelijking op voor de parabool:
|FP| = sqrt(a^2+(f(a)-s)^2) = f(a)+s = |PQ|, ofwel:
f(a) = a^2/(4s) en dus f´(a) = a/(2s).
Een vergelijking voor de raaklijn is dan:
y - f(a) = f´(a)(x-a)
De raaklijn snijdt de y-as als x = 0. Vul in:
y = f(a) + f´(a)(-a) = -a^2/(4s)
Dus |FB| = f + a^2/(4s) = |PQ|.
Deel II:
|AS| = |PQ|-|FS| = f(a) = a^2/(4s) = |BF|-|FS| = |BS|
Deel I:
Volg de definitie van een parabool. Die zegt dat een parabool bestaat uit
alle punten die op gelijke afstand liggen van het brandpunt (eng: focus) F
en de richtlijn (eng: directrix). Dus |FP| = |PQ| per definitie. We weten
ook dat FB // PQ. We moeten dan nog laten zien dat |FB| = |PQ| en we
hebben bewezen dat PQFB een ruit is.
Kies de x-as door S. Noem P = (a,f(a)) en F = (0,s), dus Q = (a,-s).
Stel een vergelijking op voor de parabool:
|FP| = sqrt(a^2+(f(a)-s)^2) = f(a)+s = |PQ|, ofwel:
f(a) = a^2/(4s) en dus f´(a) = a/(2s).
Een vergelijking voor de raaklijn is dan:
y - f(a) = f´(a)(x-a)
De raaklijn snijdt de y-as als x = 0. Vul in:
y = f(a) + f´(a)(-a) = -a^2/(4s)
Dus |FB| = f + a^2/(4s) = |PQ|.
Deel II:
|AS| = |PQ|-|FS| = f(a) = a^2/(4s) = |BF|-|FS| = |BS|
-
- Berichten: 92
Re: [wiskunde B2] ellips
Is dit wel volgens de Wiskunde B2 regels en deffinities?Anonymous schreef:Wellicht kan het slimmer, maar dit is het eerste dat in me opkomt:
Deel I:
Volg de definitie van een parabool. Die zegt dat een parabool bestaat uit
alle punten die op gelijke afstand liggen van het brandpunt (eng: focus) F
en de richtlijn (eng: directrix). Dus |FP| = |PQ| per definitie. We weten
ook dat FB // PQ. We moeten dan nog laten zien dat |FB| = |PQ| en we
hebben bewezen dat PQFB een ruit is.
Kies de x-as door S. Noem P = (a,f(a)) en F = (0,s), dus Q = (a,-s).
Stel een vergelijking op voor de parabool:
|FP| = sqrt(a^2+(f(a)-s)^2) = f(a)+s = |PQ|, ofwel:
f(a) = a^2/(4s) en dus f´(a) = a/(2s).
Een vergelijking voor de raaklijn is dan:
y - f(a) = f´(a)(x-a)
De raaklijn snijdt de y-as als x = 0. Vul in:
y = f(a) + f´(a)(-a) = -a^2/(4s)
Dus |FB| = f + a^2/(4s) = |PQ|.
Deel II:
|AS| = |PQ|-|FS| = f(a) = a^2/(4s) = |BF|-|FS| = |BS|
Ik kom er zelf niet uit....
Re: [wiskunde B2] ellips
Leuk, dit antwoord voor een parabool. Maar stel nu eens dat het echt een ellips is met zijn richtlijn. Gelijke afstanden worden dan gelijke verhoudingen.
Als je dan weer een raaklijn kiest en beide projecties intekent komt er dan weer een ruit uit? Kortom, kun je dit algemener maken, geldig voor elke kegelsnede? H.Z.
Als je dan weer een raaklijn kiest en beide projecties intekent komt er dan weer een ruit uit? Kortom, kun je dit algemener maken, geldig voor elke kegelsnede? H.Z.
-
- Berichten: 92
Re: [wiskunde B2] ellips
Euh, voor een ellips bestaat niet zo'n richtlijn.
Jazeker wel, de richtlijn voor een ellips (in dit geval is het een parabool) is zeker van belang. Maar weet iemand hoe ik het moet bewijzen?
Re: [wiskunde B2] ellips
Leon, laten we wel wezen: voor een ellips is er niet zo´n richtlijn!
Voor de parabool als ´kegelsnede´ is er een richtlijn. De richtlijn geeft
aan de orientatie van de parabool in het xy-vlak. De eigenschap van een
parabool is dat deze bestaat uit alle punten die equidistant zijn tot het
brandpunt en de richtlijn.
Welnu, een ellips is een gesloten kromme in het xy-vlak met twee brand-
punten! Zo´n richtlijn kan niet bestaan. Een ellips bestaat uit alle punten
waarvoor geldt dat de som van de afstanden tot de twee brandpunten
constant is.
De ellips en parabool zijn beide kegelsneden maar niet dezelfde objecten.
Een bewijs staat er, maar ik heb geen idee wat voor wiskunde jij krijgt.
Geef anders aan in welke geest we het bewijs moeten zoeken.
Voor de parabool als ´kegelsnede´ is er een richtlijn. De richtlijn geeft
aan de orientatie van de parabool in het xy-vlak. De eigenschap van een
parabool is dat deze bestaat uit alle punten die equidistant zijn tot het
brandpunt en de richtlijn.
Welnu, een ellips is een gesloten kromme in het xy-vlak met twee brand-
punten! Zo´n richtlijn kan niet bestaan. Een ellips bestaat uit alle punten
waarvoor geldt dat de som van de afstanden tot de twee brandpunten
constant is.
De ellips en parabool zijn beide kegelsneden maar niet dezelfde objecten.
Een bewijs staat er, maar ik heb geen idee wat voor wiskunde jij krijgt.
Geef anders aan in welke geest we het bewijs moeten zoeken.
Re: [wiskunde B2] ellips
PQ=BF, definitie parabool.
Wegens de spiegeleigenschap van de par. is de raaklijn in P aan de par. bissectrice (deellijn) van hoek FPQ met als gevolg dat PQBF een ruit is.
De raaklijn door S aan de par. snijdt PQ in C, dan is FCQS een parallellogram m.a.g BS=PC, dus ook BS=AS.
NB: de spiegeleigenschap moet een stelling in je boek zijn, anders moet deze nog bewezen worden (wat ik me niet kan voorstellen!).
Wegens de spiegeleigenschap van de par. is de raaklijn in P aan de par. bissectrice (deellijn) van hoek FPQ met als gevolg dat PQBF een ruit is.
De raaklijn door S aan de par. snijdt PQ in C, dan is FCQS een parallellogram m.a.g BS=PC, dus ook BS=AS.
NB: de spiegeleigenschap moet een stelling in je boek zijn, anders moet deze nog bewezen worden (wat ik me niet kan voorstellen!).
Re: [wiskunde B2] ellips
Mooi Safe! Eigenlijk is de opgave evident gezien de spiegeleigenschap en
de definitie van een parabool. Maar deze keer ging ik voor de grondige
aanpak.
de definitie van een parabool. Maar deze keer ging ik voor de grondige
aanpak.
-
- Berichten: 92
Re: [wiskunde B2] ellips
Je hebt gelijk, ik doelde op de parabool als kegelsnede.Anonymous schreef:Leon, laten we wel wezen: voor een ellips is er niet zo´n richtlijn!
Voor de parabool als ´kegelsnede´ is er een richtlijn.
Echter is PQ = BF niet bewezen (toch?)Safe schreef:PQ=BF, definitie parabool.
Wegens de spiegeleigenschap van de par. is de raaklijn in P aan de par. bissectrice (deellijn) van hoek FPQ met als gevolg dat PQBF een ruit is.
De raaklijn door S aan de par. snijdt PQ in C, dan is FCQS een parallellogram m.a.g BS=PC, dus ook BS=AS.
NB: de spiegeleigenschap moet een stelling in je boek zijn, anders moet deze nog bewezen worden (wat ik me niet kan voorstellen!).
Definitie van prabool is:
P op parabool met brandpunt F en richtlijn l: d(P,F) = d(P,l)
In dit geval is |PF|=|PQ|
Maar dat PQ = BF is niet bewezen als ik het goed zie.
We hebben Wisforta als hulpmiddel zoals Binas voor natuurkunde/scheikunde. Uit Wisforta (of formulekaart) mag ik de stellingen/definities gebruiken.
Wat is de spiegeleigenschap? Die staat er niet in als stelling.NB: de spiegeleigenschap moet een stelling in je boek zijn, anders moet deze nog bewezen worden (wat ik me niet kan voorstellen!).
Re: [wiskunde B2] ellips
Over de spiegeleigenschap wil ik morgen nog wel wat kwijt. Voor nu:
Ik ging net de mist in, je hebt inderdaad gelijk: een ellips heeft inderdaad
ook richtlijnen! Blijkbaar sloot mijn intuitie voor wat een richtlijn zou
moeten zijn niet aan bij de wiskundige definitie; het is dan voor mij ook
al een hele tijd geleden. (Deze richtlijnen worden gedefinieerd met
behulp van de eccentriciteit).
Ik ging net de mist in, je hebt inderdaad gelijk: een ellips heeft inderdaad
ook richtlijnen! Blijkbaar sloot mijn intuitie voor wat een richtlijn zou
moeten zijn niet aan bij de wiskundige definitie; het is dan voor mij ook
al een hele tijd geleden. (Deze richtlijnen worden gedefinieerd met
behulp van de eccentriciteit).
Re: [wiskunde B2] ellips
PQ=PF, definitie van de parabool. (rectificatie).
De spiegeleigenschap van de parabool heeft deze benaming vanwege de toepassing in de natuurkunde.
Lichtstralen invallend langs de hoofdas van de par. worden teruggekaatst door het brandpunt. Dus, neem bv punt P, dan zal de raaklijn in P aan de par. opgevat kunnen worden als een vlakke spiegel m.a.g. dat de hoek van inval is de hoek van terugkaatsing en dit stemt weer overeen met de mathematische eig. dat de raaklijn in P bissectrice is van hoek FPQ. En deze stelling moet in je boek staan! Klopt dat?
De spiegeleigenschap van de parabool heeft deze benaming vanwege de toepassing in de natuurkunde.
Lichtstralen invallend langs de hoofdas van de par. worden teruggekaatst door het brandpunt. Dus, neem bv punt P, dan zal de raaklijn in P aan de par. opgevat kunnen worden als een vlakke spiegel m.a.g. dat de hoek van inval is de hoek van terugkaatsing en dit stemt weer overeen met de mathematische eig. dat de raaklijn in P bissectrice is van hoek FPQ. En deze stelling moet in je boek staan! Klopt dat?
-
- Berichten: 92
Re: [wiskunde B2] ellips
De spiegelwet (wat jij dus bedoelde) staat inderdaad in mijn boek, maar niet als stelling in de lijst van stellingen en definities (dat is wel vreemd).Safe schreef:PQ=PF, definitie van de parabool. (rectificatie).
De spiegeleigenschap van de parabool heeft deze benaming vanwege de toepassing in de natuurkunde.
Lichtstralen invallend langs de hoofdas van de par. worden teruggekaatst door het brandpunt. Dus, neem bv punt P, dan zal de raaklijn in P aan de par. opgevat kunnen worden als een vlakke spiegel m.a.g. dat de hoek van inval is de hoek van terugkaatsing en dit stemt weer overeen met de mathematische eig. dat de raaklijn in P bissectrice is van hoek FPQ. En deze stelling moet in je boek staan! Klopt dat?
Wat is m.a.g.?
Is in dit geval de hoek van inval = hoek FPB en hoek van terugkaatsing = hoek APB? De vlakke spiegel is dan de lijn |PB|? Anders snap ik niet zo goed welke hoek jij bedoelt.
-
- Berichten: 92
Re: [wiskunde B2] ellips
Hmm... het lukt me telkens niet om |PQ|=|FB| aan elkaar te praten. Dat het even lang is kan iedereen wel zien, maar aantonen
In elk geval heb ik al dat |FP|=|PQ|
In elk geval heb ik al dat |FP|=|PQ|
Re: [wiskunde B2] ellips
Ik heb eventjes afgewacht of Safe zelf zou reageren.
Leon, m.b.v. de spiegelingseigenschap heeft Safe reeds laten zien dat
|PQ| = |FB|. Ter verduidelijking zal ik met andere woorden hetzelfde
zeggen:
- De spiegelingseigenschap houdt in dat lichtstralen evenwijdig aan de as
van de parabool allen door het brandpunt gaan. Dus een lichtstraal die
helemaal van boven komt (en als je hem zou doortrekken door de lijn PQ
zou gaan), treft de parabool in P en wordt weerkaatst in de richting van
het brandpunt F.
- Ter plaatse van P ´gedraagt´ de parabool zich als een hele kleine
vlakke spiegel die als het ware ligt op de raaklijn in P.
- De hoek van inval is de hoek die de lichtstraal maakt met het stuk van
de raaklijn rechts van P.
- Merk op dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek BPQ (omdat PQ
en de raaklijn in P elkaar snijden en rechte lijnen zijn).
- De hoek van uittrede is de hoek die de lichtstraal maakt met het stuk
van de raaklijn links van P, dus hoek FPB.
- Nu is bekend dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek van uittrede,
d.w.z. dat hoek BPQ = hoek FPB, dus PB is een bisectrice (dat is de lijn
die de hoek FPQ in tweeen deelt).
- Omdat |FP| = |PQ| per definitie en FB // PQ en BP bisectrice van hoek
FPQ kan het niet anders dat |FB| = |PQ|. (Immers, als FB en PQ niet
evenwijdig zouden zijn, alleen dan kan |PB| |PQ| )
Leon, m.b.v. de spiegelingseigenschap heeft Safe reeds laten zien dat
|PQ| = |FB|. Ter verduidelijking zal ik met andere woorden hetzelfde
zeggen:
- De spiegelingseigenschap houdt in dat lichtstralen evenwijdig aan de as
van de parabool allen door het brandpunt gaan. Dus een lichtstraal die
helemaal van boven komt (en als je hem zou doortrekken door de lijn PQ
zou gaan), treft de parabool in P en wordt weerkaatst in de richting van
het brandpunt F.
- Ter plaatse van P ´gedraagt´ de parabool zich als een hele kleine
vlakke spiegel die als het ware ligt op de raaklijn in P.
- De hoek van inval is de hoek die de lichtstraal maakt met het stuk van
de raaklijn rechts van P.
- Merk op dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek BPQ (omdat PQ
en de raaklijn in P elkaar snijden en rechte lijnen zijn).
- De hoek van uittrede is de hoek die de lichtstraal maakt met het stuk
van de raaklijn links van P, dus hoek FPB.
- Nu is bekend dat de hoek van inval gelijk is aan de hoek van uittrede,
d.w.z. dat hoek BPQ = hoek FPB, dus PB is een bisectrice (dat is de lijn
die de hoek FPQ in tweeen deelt).
- Omdat |FP| = |PQ| per definitie en FB // PQ en BP bisectrice van hoek
FPQ kan het niet anders dat |FB| = |PQ|. (Immers, als FB en PQ niet
evenwijdig zouden zijn, alleen dan kan |PB|
|PQ| )