Springen naar inhoud

integralen ... reeks


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2005 - 13:04

volgende oef: = integraalteken

sin^4(x) . cos^4(x) . dx = ????

De uitkomst zou moeten zijn: 1/128 [3x - sin(4x) + 1/8 sin(8x)] + C ...

Heb al vanalles geprobeerd maar het verste waar ik ben geraakt is het volgende:

= sin^4(x) . cos^4(x) . dx

= sin^2(x) . sin^2(x) . cos^4(x) . dx

= [ ((1-cos2x)/2) . ((1-cos2x)/2) . cos^4(x)] . dx

... kan zijn dat k goed bezig ben, maar t kan zijn dat k slecht bezig ben, aangezien ik hier met cos zit en in mijn uitkomsten met sin te doen heb...

iemand een ideetje ofzo ?

HINT : sin(2x) = 2sinx.cosx

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Ramses

    Ramses


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 november 2005 - 14:12

Je kan best eerst die hint die je vanonder gezet hebt gebruiken (breng de twee over en verhef beide leden tot de vierde) Waarna je een integraal krijgt van een even macht van een sinusfunctie. Deze los je best op door gebruik te maken van de formule sinx= 1/2 (1-cos 2x) (als je beide leden veheft tot de tweede en x als 2x neemt heb je wat achter je integraal staat). Dan werk je het kwadraat uit en krijg je drie simpelere integralen. Twee zouden op zicht te doen moeten zijn en de derde kun je opnieuw met de verdubbellingsformule doen maar dan die van de cosinus ( plus ipv min).

#3

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2005 - 14:22

als k t begrijp:

==> sin2x = 2sinx.cosx
==> (sin2x)/2 = sinx.cosx
==> [(sin2x)/2]^4 = [sinx.cosx]^4
==> [(sin2x)/2]^4 = [sinx.]^4 . [cosx]^4

==> sin^4(x) . cos^4(x) . dx = [(sin2x)/2]^4 . dx

==> de verdere uitleg begrijp k niet goed ... je zegt "
Deze los je best op door gebruik te maken van de formule sinx= 1/2 (1-cos 2x) (als je beide leden (welke leden bedoel je ????) veheft tot de tweede en x als 2x neemt heb je wat achter je integraal staat)...

#4

Ramses

    Ramses


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 november 2005 - 14:39

Je krijgt dan 1/16 sin^4 (2x)
en sinx = 1/2 (1-cos 2x) => sin^4 (2x) = ( 1/2 (cos 4x))

#5

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2005 - 14:45

inderdaad.. gevonden....

nu als k even bedenk dan is :

cos 4x = 1/4. sin4x
cos 5x = 1/5. sin5x
cos 8x = 1/8. sin8x
cos (delta.x) = 1/delta. sin(delta.x)

thx vr de response.

#6

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2005 - 17:20

kheb eigenlijk een nieuwe vraagje:

volgende integraag moet opgelost worden:

[1 / (x . vkw (4 +x))] . dx

dit zou gelijk moeten zijn aan: -1 / (4 sin (Arctg(x/2)) of is idem met : [vkw (4 + x)] / 4x

Hint: 1 + tgx = 1 / cosX

via substitutie methode misschien ...

x = 2 sin y --> dx = 2 cos y dy --> y = Arcsin (x/2)...

= [1 / (x . vkw (4 +x))] . dx

= [1 / (2 sin y . vkw (4 + (2 sin y)))] . 2 cos y dy

= [1 / (2 sin y . vkw (4 + 2 sin y))] . 2 cos y dy

verder lijkt het me vreemd om verder op te lossen .. ofwel ben k in de fout gegaan tot hier ofwel ben k op de verkeerde weg ..

thx.

#7

Ramses

    Ramses


  • 0 - 25 berichten
  • 8 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 04 november 2005 - 18:35

Ik denk dat je beter een andere substitutie neemt, x = 2 tan y heb ik genomen zodat y = Bgtan x/2 (Bgtan is zelfde als Arctan) en dx = 2dy/cosy
de wortel wordt dan (4+4 tan y)^1/2 = 2 (1+ tan y)^1/2 = 2/cos y
en dan werk je de integraal verder uit, je krijgt dus 1/4 (cos y / sin y) dy
en dan doe je nog eens substitutie (z = sin y) en dan kom je er wel

#8

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 november 2005 - 19:21

is het nodig dat je nog eens een 2de keer substitutie toepast ...

kun je dat niet gewoon uitwerken met de basisformules van goniometrie enzo ... ?

werken via partiele integratie bijvoorbeeld ?

#9


  • Gast

Geplaatst op 05 november 2005 - 03:43

Euh, als je dit makkelijker vindt kan dit allemaal:) er zijn vaak wel meerdere mogelijkheden om tot de oplossing te komen.

#10

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 november 2005 - 10:51

goed ik heb eens geprobeerd om een 2de keer subsitutie toe te passen maar ik geraak ergens vast ....

ik geraak er wel tot volgende oplossing:

= [1 / (x . vkw (4 +x))] . dx

= 1ste keer substitutie...

=> x = 2 sin y --> dx = 2 cos y dy --> y = Arcsin (x/2)

= ...

= 1/4 (cos y / sin y) dy

= 2de keer substitutie ...

=> z = sin y; y = Arcsin (z); dy = 1/(vkw(1-z))

= 1/4 (cos y / sin y) dy

= 1/4 (cos Arcsin (z) / z) . 1/(vkw(1-z))

= ... ???

iemand verder ideeen ?

Thx

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 november 2005 - 17:02

De beste subtitutie lijkt me hier toch x = 2tan(y) <=> dx = 2/cos(y).

Geplaatste afbeelding

#12

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 november 2005 - 18:07

was ik dan fout als ik vanaf hier zeg:

1/4 (cos y / sin y) dy

= 2de keer substitutie ...

=> z = sin y; y = Arcsin (z); dy = 1/(vkw(1-z))

= 1/4 (cos y / sin y) dy

= 1/4 (cos Arcsin (z) / z) . 1/(vkw(1-z)) .dz

= 1/4 cos ( Arcsin(sin y) ) / siny . vkw (1-siny) dy

= 1/4 cos y / siny . vkw (cosy) dy

= 1/4 cos y / siny . cos y . dy

= 1/4 1 / siny . dy

... natuurlijk zit ik hier verveel met die siny ipv sin.

in de uitwerking hierboven is er ook n foutje.. het moet niet 1 / ... maar -1 / ... zijn ...

PS: kan ienamd dit mss oplossen zoals ik het zou doen/gedaan hebben maar dan wel op de goede manier ? ;-)

alvast bedankt.

Mvg,

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 november 2005 - 18:17

was ik dan fout als ik vanaf hier zeg:

1/4 (cos y / sin y) dy  

= 2de keer substitutie ...  

=> z = sin y; y = Arcsin (z); dy = 1/(vkw(1-z))  

= 1/4 (cos y / sin y) dy


Je substitutie is niet fout maar je maakt het nodeloos ingewikkeld.
z = sin y <=> dz = cos y dy

=> 1/4 (cos y / sin y) dy = 1/4 1/z dz

in de uitwerking hierboven is er ook n foutje.. het moet niet 1 / ... maar -1 / ... zijn ...

Waar staat deze fout precies?

#14

Zwolle

    Zwolle


  • >100 berichten
  • 130 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 november 2005 - 18:48

geen fout tis juist ...

maar kbergijp dmethode niet echt goed ...

je maakt van dy een d(sin y) ..

is dat partiele integratie ..?

of ben k mis ..

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 november 2005 - 18:51

Dat is precies de substitutie die je zelf aangaf, maar dan verder gebruikt zoals in m'n vorige post. Dus: z = sin y <=> dz = cos y dy





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures