Springen naar inhoud

[Wiskunde] Moeilijke integraal.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 november 2005 - 23:44

Ik zie hier voor mij liggen sin 2x / e^(6x)

hoe is het mogelijk hiervan een integraal te berekenen ik ken maar 3 integratiemethodes namelijk breuksplitsing part en substitutie

Hoe pak ik dat hier aan?

Groeten.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Friendly Ghost

    Friendly Ghost


  • >100 berichten
  • 222 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 november 2005 - 00:34

Het enige dat ik kan bedenken is sin(2x) omzetten in complexe e-machten en daarmee gaan integreren.
"If you're scared to die, you'd better not be scared to live"

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 november 2005 - 00:55

hoe doe je dat?

#4

StrangeQuark

    StrangeQuark


  • >1k berichten
  • 4160 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 november 2005 - 09:59

sin(2t)=(e^i2t - e^-i2t)/2i

Maar dan moet je wel met het getal i kunnen rekenen en complex verder kunnen rekenen. Kan je niet gaan integreren in delen met 1/e^6t (dus mbv substitutie) en sin(2t)?
De tekst in het hierboven geschreven stukje kan fouten bevatten in: argumentatie, grammatica, spelling, stijl, biologische of scheikundige of natuurkundige of wiskundige feiten kennis. Hiervoor bied StrangeQuark bij voorbaat zijn excuses aan.

#5

sdekivit

    sdekivit


  • >250 berichten
  • 704 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 november 2005 - 11:58

sin(2t)=(e^i2t - e^-i2t)/2i  

Maar dan moet je wel met het getal i kunnen rekenen en complex verder kunnen rekenen. Kan je niet gaan integreren in delen met 1/e^6t (dus mbv substitutie) en sin(2t)?


kun je niet gewoon partieel integreren?

:? sin(2t) * 1/e^(6t) dt

--> u =e^-6t --> du = -6e^-6t
--> dv = sin(2t)dt --> v = :? sin(2t) dt

Dus subtitueren door 2t te kiezen: v = -1/2cos(2t)

--> :roll: sin(2t) * 1/e^(6t) dt = -1/2e^-6t * sin(2t) - :P 3cos(2t) * e^(-6t)

= -1/2e^-6t - 3 :P cos(2t)e^-6t dt

Nog een keer partieel integreren:

:P cos(2t)e^-6t met u = e^-6t en dv = cos(2t)

hieruit volgt: -3e^-6t * sin2t - :D -3sin(2t)e^-6t

dus: -3e^-6t * sin2t + :D sin(2t)e^-6t

Dit substitueren in de oorspronkelijke oplossing:

-1/2e^-6t - 3 [-3e^-6t * sin2t + :) sin(2t)e^-6t]

=

-1/2e^-6t +9e^-6t - 3 :P sin(2t)e^-6t

dus:

4 * :P sin(2t) * 1/e^(6t) dt = -1/2e^-6t +9e^-6t

--> :) sin(2t) * 1/e^(6t) dt = (-1/2e^-6t +9e^-6t)/4

(Onder voorbehoud van rekenfouten, want heb het maar ff snel opgeschreven)

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 november 2005 - 16:06

Ik heb het niet grondig nagekeken maar het resultaat is zeker fout, er komen niet eens meer goniometrische functies in voor dus dat kan niet kloppen lijkt me.

Het principe klopt wel, twee keer partieel integreren en een veelvoud van de oorspronkelijke integraal terug bekomen.

Geplaatste afbeelding

#7

sdekivit

    sdekivit


  • >250 berichten
  • 704 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 november 2005 - 16:27

heb het ook niet opgeschreven, maar direct getypt, dus zal wel ergens een fout zijn gemaakt bij het substitueren ofzo :P

na opschrijven bekom ik ook op hetzelfde resultaat:

10 * :roll: sin(2t)e^-6t dt = -e^-6t [ cos(2t)/2 + 3 *sin(2t)/2]

-->

:P sin(2t)e^-6t dt = -e^-6t [ cos(2t) + 3 * sin(2t)/20 ]

#8


  • Gast

Geplaatst op 06 november 2005 - 17:39

Vraag aan Bert F: ken je de partiele integratie?

#9


  • Gast

Geplaatst op 06 november 2005 - 17:54

partiŽle integratie... ik heb daar momenteel problemen mee.
Ik snap de theorie en de werkwijze met die formule: S f(x)g'(x) = f(x)g(x) - S g(x)f'(x)

en weet dat je in die oefenigen dus op zoek moet gaan naar een g' en f (x)
maar dan... van een samengestelde functie als bv sin ^2 x als g'(x) kan ik geen primiteve functie vinden...

kan iemand mij uitleggen hoe dat gaat

#10

sdekivit

    sdekivit


  • >250 berichten
  • 704 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 november 2005 - 18:02

nou misschien is het andere 'stukje' wel primitiveerbaar en kun je dat stukje als g'(x) nemen. Het is een vermenigvuldiging dus wat je voor f(x) of g'(x) neemt maakt niet veel uit.

#11

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 november 2005 - 18:08

Vraag aan Bert F: ken je de partiele integratie?


Ja ik ken die wel maar blijf die toch hier niet in zien zo kan je dergelijk p integratie methode toepassen op bv X^2 * e^x je bekomt eerst x dan 1 en dan kan je gewoon e^x integreren maar hier blijf ik iets dergelijks echt niet in zien hoe goed ik mijn best ook maar wil doen daarom wilt er mij eens op wijzen zal mss zelfs niet zo moeilijk zijn maar zie hem toch niet.

Groeten.

#12

sdekivit

    sdekivit


  • >250 berichten
  • 704 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 november 2005 - 18:33

dit wordt weer 2 keer partieel integreren :P

:D x^2*e^x dx --> neem u = x^2 (du = 2x dx) en dv = e^x dx (v = e^x)

--> :) x^2e^x = x^2*e^x - :? e^x * 2x

=

x^2*e^x - 2 :? x * e^x dx

vervolgens:

:P x * e^x dx --> u = x (dus du = 1 dx) en dv = e^x (dus v = e^x)

--> :P x * e^x = x * e^x - :D e^x dx

--> :) x^2e^x = x^2*e^x - 2[x * e^x - :P e^x dx]

=

x^2 * e^x - 2x * e^x + :roll: e^x dx

=

x^2 * e^x - 2x * e^x + 2e^x

=

e^x ( x^2 - 2x + 2)

#13


  • Gast

Geplaatst op 06 november 2005 - 18:42

ja, dat ander deeltje is wel primitiveerbaar, maar ik bekom achter het integraal teken een nog ingewikkeldere functie dan ik ervoor al had.
S x * sin^2x dx met f(x) is sin^2 x dus f'(x) = 2sinxcosx en g'(x) = x dus g(x) = 1/2 x^2

= sin^2x*1/2 x^2 - S sinx*cosx*x^2
en als ik die nieuwe integraal dan verder wil uitwerken en denk aan een nieuwe PI dan wordt hij maar ingewikkelder en ingewikkelder...
of ik heb hier een techniek niet door ofzo :roll: want sloeg er daarstraks ook al niet in om een andere gelijkaardige integraal op te lossen:

S x*sinx*cosx dx

ik dacht x als g'(x) te nemen en sinx*cosx als f(x), maar bekom in die nieuwe integraal dan door de kettingregel voor afgeleiden bij f'(x) dan weer een te ingewikkelde functie... eigenlijk telkens als ik ook maar elke andere mogelijkheid voor f(x) of g(x) neem.
Wat doe ik verkeerd? of bestaan hier eenvoudige technieken voor?
Ze zien er zo eenvoudig uit maar en waarschijnlijk zal het uiteindelijk ook zo zijn, maar ik slaag er niet in ze op te lossen...

#14


  • Gast

Geplaatst op 06 november 2005 - 22:48

Ik schrijf liever de partiele integratie als volgt:

S fdg=f*g-S gdf (een rechtstreeks gevolg van de productregel!)

S e^(-6x)sin(2x)dx=-1/6S sin(2x)de^(-6x)=

=-1/6{e^(-6x)*sin(2x) - S e^(-6x)dsin(2x)}=

=-1/6{e^(-6x)*sin(2x) - 2*S e^(-6x)cos(2x)dx}=

=-1/6{e^(-6x)*sin(2x) - 2*-1/6S cos(2x)de^(-6x)}=

=-1/6e^(-6x)*sin(2x)-1/18{e^(-6x)*cos(2x) - (-2)*S e^(-6x)sin(2x)dx}}

=-1/6e^(-6x)*sin(2x)-1/18*e^(-6x)*cos(2x) - 1/9*S e^(-6x)sin(2x)dx=

Nu moet je goed op de eerste regel en de laatste regel letten!
Op de eerste regel staat: S e^(-6x)sin(2x)dx en in de laatste regel staat eveneens S e^(-6x)sin(2x)dx, we noemen dit (even) I.

I==-1/6e^(-6x)*sin(2x)-1/18*e^(-6x)*cos(2x) - 1/9*I

dus: I+1/9*I=-1/18e^(-6x){3sin(2x)+cos(2x)}

of: 10/9*I=-1/18e^(-6x){3sin(2x)+cos(2x)}

I=9/10*-1/18e^(-6x){3sin(2x)+cos(2x)}

I=-1/20e^(-6x){3sin(2x)+cos(2x)}

#15


  • Gast

Geplaatst op 06 november 2005 - 22:52

Ik zie (achteraf) dat TD dit resultaat ook al had gepost.
Maar misschien helpt dit in tweede lezing een beetje mee!!!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures