Springen naar inhoud

n-de machtswortels uit een complex getal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 november 2005 - 21:47

Kleine introductie: Ik ben een student in Diest die in het vijfde middelbaar zit in SJB-college en ik volg de richting wetenschappen-wiskunde.

Nu mijn probleem, bij mijn taak staat er een extra uitdaging waarvan ik de optie heb om die te maken, als 'wiskundige' kon ik die verleiding niet weerstaan om het te proberen.

De opdracht luidt als volgt:
Bereken cos 72° en sin 72° zonder rekenmachine.
Hint: Los eerst z^5 - 1= 0 op (door ontbinden van factoren).
De wederkerige vgl. van de vierde graad los je op door eerst te
delen door z˛, de termen met dezelfde coefficient samen te nemen
en de vorm te schrijven in functie van z + (1/z)
Een van de gevonden wortels (van het eerste kwadrant) is
cos 72° + i sin 72°.
Bepaal hiermee exact alle vijfde machtswortels uit 1.

Nu, we werken met de formule van Moivre dus ik veronderstel dat dat er iets mee te maken heeft. Formule van Moivre is als volgt:
(cos alpha + i sin alpha)^n = cos(n maal alpha) + i sin(n maal alpha)
Ik heb al iets gevonden van het rechterlid waarbij n (6/5) is en alpha is gelijk aan 60°, 60° van cosinus en sinus weten we namelijk (vierkantswortel van 3, gedeeld door 2 voor sin en 1/2 voor de cos).
Dan kunnen we daarvan de 6/5 nemen, maar ik weet niet goed hoe ik het zal noteren en ik denk dat er meer bij komt kijken. Ik moet de oplossing natuurlijk niet hebben, tis nog steeds mijn oefening, maar een hint zou leuk zijn.

Dank bij voorbaat,

~Medewiskundige
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2


  • Gast

Geplaatst op 06 november 2005 - 23:03

Nee, je moet letterlijk doen wat er staat!

#3

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 november 2005 - 23:55

Dit komt me heel bekend voor, maar is echt al heel lang geleden dat ik nog zo een oefeningen gedaan heb (ondertussen al bijna een jaar geleden :P )

Het komt er wel op neer dat je 5 keer zal moeten reken, met 5 verschillende hoeken, eigelijk kan je blijven verder gaan maar dan kom je steeds op hetzelfde teru (2 :roll: :wink: )

#4

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 november 2005 - 17:10

Dit komt me heel bekend voor, maar is echt al heel lang geleden dat ik nog zo een oefeningen gedaan heb (ondertussen al bijna een jaar geleden  :roll: )

Zat jij ook in het SJBC vroeger?
En ik heb de hoeken uitgewerkt, maar ik ben er niet veel wijzer mee geworden... Toch niets om die 72° uit te kunnen werken..
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#5

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 november 2005 - 17:14

Nee, ik zit op een heel andere school maar zit nu in 6WW, dus het lijkt me wel logisch dat ik gelijkaardige oefeningen heb gezien , als ik vanavond even de tijd vind zoek ik mss even m'n wiskundemap :roll:

#6


  • Gast

Geplaatst op 08 november 2005 - 17:53

Is bib357 nog geďnteresseerd?

De nulptn bevinden zich op de eenheidscirkel in het complexe vlak en vormen een regelmatige 5-hoek met de reële as als symm as.
(de opl zijn genummerd in tegenwijzerrichting):

z1=1

z2=1/4[{sqrt(5)-1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]

z3=1/4[-{sqrt(5)+1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]

z4=1/4[-{sqrt(5)+1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]

z5=1/4[{sqrt(5)-1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]


NB: wie kan me aan upload-adressen helpen?

#7

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 november 2005 - 18:02

ja, ik ben nog geinteresseerd.. Maar wat betekent de sqrl? Die heb ik nog niet geleerd..
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 november 2005 - 18:04

sqrt staat voor "square root" en is de vierkantswortel, sqrt(x) is dus [wortel]x.

#9

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 november 2005 - 16:23

Is bib357 nog geďnteresseerd?

De nulptn bevinden zich op de eenheidscirkel in het complexe vlak en vormen een regelmatige 5-hoek met de reële as als symm as.
(de opl zijn genummerd in tegenwijzerrichting):

z1=1

z2=1/4[{sqrt(5)-1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]

z3=1/4[-{sqrt(5)+1} + i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]

z4=1/4[-{sqrt(5)+1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)-1)}]

z5=1/4[{sqrt(5)-1} - i*sqrt{2*sqrt(5)*(sqrt(5)+1)}]


NB: wie kan me aan upload-adressen helpen?


het was weer even geleden dat ik hier nog iets heb gereplied, maar ik snap toch nog altijd niet hoe je hieraan bent gekomen.. Ik heb eerst alle z-opl. gezocht:
z1=1*(cos(0°)+i*sin(0°))=1
z2=1*(cos(72°)+i*sin(72°))=0.30902+0.95106*i
z3=-0.80902+0.58779*i
z4=-0.80902-0.58779*i
z5=0.30902-0.95106*i

Het lijkt me het meest logische verder te gaan vanaf z2, maar hoe kun je dat verder oplossen? Ik dacht eerst misschien met de formules van Simpson waarbij je dan cos(72°) opsplitst in (60° + 12°), maar 12° kun je niet zonder rekenmachine berekenen... (toch niet met mijn beperkte kennis...) Ik denk dat Safe wel op het rechte pad zit, maar ik zou graag wat uitleg krijgen over hoe hij daaraan gekomen is
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#10

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 november 2005 - 23:17

laat maar, ik heb de oplossing al gevonden ^^ Bedankt voor uw hulp :roll:
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)

#11


  • Gast

Geplaatst op 13 november 2005 - 23:31

Waarom moeten we kijken naar z+1/z?
We zitten op de eenheidscirkel en dan geldt |z|^2=1 <=> z*u=1, hierin is u de toegevoegde van z (bv als z=a+i*b volgt u=a-i*b).
Hieruit volgt u=1/z, zodat z+1/z=z+u=2*Re(z).

z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)
Dus: z^5-1=0 geeft z=1 of z^4+z^3+z^2+z+1=0,
z^4+z^3+z^2+z+1=0 <=> z^2(z^2+z+1+1/z+1/z^2)=0
Dus: z^2+z+1+1/z+1/z^2=0 <=> z^2+2+1/z^2+z+1/z-1=0
Of: (z+1/z)^2+(z+1/z)-1=0, noem z+1/z=w dan staat er w^2+w-1=0
Dus w1=-1/2+1/2*sqrt(5) en/of w2=-1/2-1/2*sqrt(5), dit zijn dus inderdaad reële opl zoals verwacht.

Nu terug naar de eenheidscirkel met de poolnotatie.
z1=cos(0)+i*sin(0)=1
z2=cos(72)+i*sin(72)
z3=cos(144)+i*sin(144)
z4=cos(-144)+i*sin(-144)=cos(144)-i*sin(144)
z5=cos(-72)+i*sin(-72)=cos(72)-i*sin(72)

z1=1
z2+z5=w1=2*cos(72)
z3+z4=w2=2*cos(144)

met bv cos(2*a)=1-2*sin(a) is sin(72) uit te rekenen!

Reken zelf even verder!!!

Als er nog vragen zijn, hoor ik dat wel.

#12

bibliotheek357

    bibliotheek357


  • >250 berichten
  • 310 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 november 2005 - 19:28

laat maar, ik heb de oplossing al gevonden  ^^  Bedankt voor uw hulp :roll:

:P Toch nog eens bedankt dat je de moeite doet om me verder te helpen. ik heb ook die z+1/z niet gebruikt. Ik heb simpelweg verder gewerkt van de 2e oplossing en verder uitgewerkt met vergelijkingen. dan had je iets met cos72°+isin72° bij het begin en als je de vgl hebt uitgewerkt dan heb je a+bi => cos 72° gelijkstellen aan a en sin 72° gelijkstellen aan b => oplossing!
Niet weten is geen schande, niet willen weten wél, en persé beter willen weten ook!
(quotatie van Jan van de Velde)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures