Springen naar inhoud

[wiskunde] bewijs stelling over priemgetallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 10 november 2005 - 23:08

hoi
hier een vraagje:
a,b en c getallen uit Z*
bewijs de volgende stelling:
ggd(a,b)=1 en ggd(a,c)=1 <===> ggd(a,bc)=1

weet iemand hoe ik moet beginnen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44874 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 november 2005 - 00:38

Ik waarschijnlijk niet, maar weet elke wiskundige wat Z* betekent, en betekent je laatste term grootste gemene deler van het getal a en het product van b en c?
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2005 - 00:43

hoi  
hier een vraagje:
a,b en c getallen uit Z*
bewijs de volgende stelling:
ggd(a,b)=1 en ggd(a,c)=1   <===> ggd(a,bc)=1

weet iemand hoe ik moet beginnen?

Schrijf het product bc eens op als factor van priemgetallen (dus iets als :roll:pn), en kijk wat er aan de hand is als ggd(a,bc) :P 1.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4


  • Gast

Geplaatst op 11 november 2005 - 09:17

ggd(a,b)=1 betekent: a en b hebben geen gemeenschappelijke priemfactoren.
Pas de (hoofd)stelling van de algebra toe:
Ieder element in Z*=Z{0} heeft een unieke ontbinding in priemfactoren.

#5


  • Gast

Geplaatst op 11 november 2005 - 16:19

het hoofdstuk is net begonnen over priemgetallen en de stelling over de unieke ontbinding is niet aan de orde gekomen. Wel de stelling van Gauss en die van Bezout of bezoute ofzo.
ik weet dat ik twee implicaties moet aantonen:
A <==> B dan moet je A==> B aantonen en ook B==> aantonen.

ggd(a,bc)=1 geeft Er is een stel (x,y) uit Z zodat ax+bcy=1
dus ax+by'=1 en ax+cy''=1 (kies y'=cy en y''=by)

dus ggd(a,b)=1 en ggd(a,c)=1

maar ik kan de andere implicatie niet bewijzen.. enig idee hoe?

#6

Phillip

    Phillip


  • >250 berichten
  • 588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2005 - 18:58

niet dat ik jullie wil storen hoor, maar over topic's "priemgetal" in maintopic wiskunde. misschien kan daar ergens stukken in zitten die belangrijk zijn???

http://www.wetenscha...showtopic=12432

http://www.wetenscha...showtopic=12291

http://www.wetenscha...showtopic=12307

grtz Phillip :wink:
Wie zoekt, die vindt... waar een wil is, is een weg en op een dag.... we find the final frontier!

#7

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 november 2005 - 13:58

maar ik kan de andere implicatie niet bewijzen.. enig idee hoe?

Alsnog eerst de stelling over unieke priemontbinding bewijzen? Dit is niet echt moeilijk, en daarmee is het bewijs voor deze vraag een peuleschil :roll:
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#8


  • Gast

Geplaatst op 14 november 2005 - 22:59

Hier komt een bewijs:
Geg is ax+by=1 en ax+cy=1 voor zekere x en y uit Z*.
Te bew is ax+bcy=1 voor zekere x en y uit Z*.
Bew: ax+by=1 (1) en ax+cy=1 (2).
Verm (1) met c en (2) met b, dus cax+cby=c (3) en bax+bcy=b (4),
Nu nemen we aan dat b en c relatief priem zijn dus ggd(b,c)=1,
als b en c niet relatief priem zijn zodat er een ggd ongelijk 1 is, stel dit even d, dan stellen we b=db' en c=dc' met b' en c' relatief priem.
Dus bx+cy=1 voor zekere x en y uit Z* kies nu een x1 en y1 die voldoen en verm (3) met y1 en (4) met x1, en tel op, dan krijgen we
y1cax+y1cby=cy1 (5) en x1bax+x1bcy=bx1 (6) en tel (5) en (6) op, dan krijgen we:
ax+(y1+x1)bcy=1 omdat bx1+cy1=1 en neem nu (y1+x1)y=y', dus
ax+bcy'=1 voor zekere x en y' uit Z*. Einde bewijs.

Geen eenvoudig bewijs, naar mijn mening!

#9


  • Gast

Geplaatst op 15 november 2005 - 00:10

ik had over nagedacht en ik kwam tot de volgende

ax+by=1 en ax+cy=1
geven
by-1=ax en cy-1=ax
by=1 mod a en cy=1 mod a
dus
bcy≤=1mod a
kies y'=y≤ dan staat er
bcy'=1 mod a
dus
bcy'-1=ax
a(-x)+bcy'=1
ax'+bcy'=1 met ( x'=-x)
dus ggd(a,bc)=1

is dit ook redelijk?

#10


  • Gast

Geplaatst op 16 november 2005 - 15:38

Ik zal je een paar verg laten zien!

3x Ξ 1 mod 5 => x=2+k*5
4x Ξ 1 mod 5 => x=4+k*5, vermenigvuldigen geeft
12x^2 Ξ 1 mod 5 => x^2=3+ k*5 dus geen opl voor x

Opm: k is een element uit Z.
De notatie ... Ξ ... is niet voor niets!
(De drie (hor) streepjes Ξ moeten even lang zijn, dat lukte me hier niet)

#11


  • Gast

Geplaatst op 16 november 2005 - 23:44

Ik zal je een paar verg laten zien!

3x Ξ 1 mod 5  => x=2+k*5  
4x Ξ 1 mod 5  => x=4+k*5, vermenigvuldigen geeft
12x^2 Ξ 1 mod 5  => x^2=3+ k*5 dus geen opl voor x

Opm: k is een element uit Z.
De notatie ... Ξ ... is niet voor niets!
(De drie (hor) streepjes Ξ moeten even lang zijn, dat lukte me hier niet)

mm zoiets komt ook ter zake, ook bijv. oplossingen van stelsels in de vorm:
ggd(a,b)=360
a+b=18
ect.
nu is er een nieuwe vraag:
bepaal de rest bij deling van 2n door 9

ik heb een aantal waarden van n gebruikt n=4,6,,7,8,9,10,11
om te kijken of er een regelmaat in zat,
het antwoord moet zijn in de vorm:
als k=6n-2 dan is r=....
k=6n-1= dan is r=..
ect.
maar dat is een beetje nogal een rekenwerk...
wat is een goeie oplossing voor de vraag?

#12


  • Gast

Geplaatst op 17 november 2005 - 08:27

Ik zal je een paar verg laten zien!

3x Ξ 1 mod 5  => x=2+k*5  
4x Ξ 1 mod 5  => x=4+k*5, vermenigvuldigen geeft
12x^2 Ξ 1 mod 5  => x^2=3+ k*5 dus geen opl voor x

Opm: k is een element uit Z.
De notatie ... Ξ ... is niet voor niets!
(De drie (hor) streepjes Ξ moeten even lang zijn, dat lukte me hier niet)

mm zoiets komt ook ter zake, ook bijv. oplossingen van stelsels in de vorm:
ggd(a,b)=360
a+b=18
ect.
nu is er een nieuwe vraag:
bepaal de rest bij deling van 2n door 9

ik heb een aantal waarden van n gebruikt n=4,6,,7,8,9,10,11
om te kijken of er een regelmaat in zat,
het antwoord moet zijn in de vorm:
als k=6n-2 dan is r=....
k=6n-1= dan is r=..
ect.
maar dat is een beetje nogal een rekenwerk...
wat is een goeie oplossing voor de vraag?

heey... k kwam er wel uit! .. toch bednakt

#13


  • Gast

Geplaatst op 17 november 2005 - 12:14

Je vroeg me of je bewijs goed was. Toen gaf ik in m'n vorige post antwoord in de vorm van die verg.
Ik mis je reactie daarop!
Maw: is je bewijs, naar je eigen mening, nu wel of niet in orde?

Heb je het antwoord op je tweede vraag?

#14


  • Gast

Geplaatst op 17 november 2005 - 21:32

Ik zal je een paar verg laten zien!

3x Ξ 1 mod 5  => x=2+k*5  
4x Ξ 1 mod 5  => x=4+k*5, vermenigvuldigen geeft
12x^2 Ξ 1 mod 5  => x^2=3+ k*5 dus geen opl voor x

Opm: k is een element uit Z.
De notatie ... Ξ ... is niet voor niets!
(De drie (hor) streepjes Ξ moeten even lang zijn, dat lukte me hier niet)

mm ik snap het wel
me bewijs is oncorrect, zo blijft iut dit tegenvoorbeeld.

#15


  • Gast

Geplaatst op 18 november 2005 - 17:37

Ik zal je een paar verg laten zien!

3x Ξ 1 mod 5  => x=2+k*5  
4x Ξ 1 mod 5  => x=4+k*5, vermenigvuldigen geeft
12x^2 Ξ 1 mod 5  => x^2=3+ k*5 dus geen opl voor x

Opm: k is een element uit Z.
De notatie ... Ξ ... is niet voor niets!
(De drie (hor) streepjes Ξ moeten even lang zijn, dat lukte me hier niet)

mm ik snap het wel
me bewijs is oncorrect, zo blijft iut dit tegenvoorbeeld.


enig idee wat ik fout deed?
ik bedoel
als x=y mod n en s=t mod n dan geldt toch sx=yt mod n





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures