Springen naar inhoud

priemgetallen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

-=zweistein=-

    -=zweistein=-


  • >100 berichten
  • 237 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2005 - 20:52

Zin in wiskunde? :roll:

bewijs dat ....

als p een priemgetal is groter dan 3 bewijs dat (p≤-1)/24 altijd een geheel getal is

een leuk opgave
The first writing, science, mathematics, law and philosophy in the world, making the region the center of what is called the "Cradle of Civilization" - Iraq

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Kris Hauchecorne

    Kris Hauchecorne


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2005 - 21:39

(p-1)*p*(p+1) is altijd deelbaar door 2, door 4 en door 3 en heeft bijgevolg 24 als deler. Het priemgetal zelf doet niet mee, dat geeft:
p≤-1=24k voor alle priemgetallen groter dan 3.

Een hele mooie.
Geloven staat vrij, maar kwak blijft kwak.

#3

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 november 2005 - 22:52

(p-1)*p*(p+1) is altijd deelbaar door 2, door 4 en door 3 en heeft bijgevolg 24 als deler.  

Een hele mooie.


Als een getal deelbaar is door 2,3 en door 4; wil dat dan zeggen dat dit getal automatisch deelbaar is door 24?

12-180-324-1236
zijn maar enkele voorbeelden van getallen die 2,3 en 4 als delers hebben, maar niet 24.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#4

JVV

    JVV


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 november 2005 - 23:56

(p≤-1)/24 = (p+1)(p-1)/24

Een priemgetal boven de 3 is te schrijven als p=(6n-1) of p=(6n+1). Als je dit invult krijg je;

(6n)(6n-2)/24 = (2*3*n)(4*[3/2n-1/2])/24 = n*(3/2n-1/2)
of;
(6n)(6n+2)/24= (2*3*n)(4*[3/2n+1/2])/24 = n*(3/2n+1/2)

Beide uitkomsten zijn gehele getallen.
"Simplicity does not come of itself but must be created."

#5


  • Gast

Geplaatst op 12 november 2005 - 18:52

Als een getal deelbaar is door 2,3 en door 4; wil dat dan zeggen dat dit getal automatisch deelbaar is door 24?

Neen.
In dit geval gaat het om drie opeenvolgende getallen, waarvan de middelste priem. De twee andere zijn even. Bij twee opeenvolgende even getallen is het ene steeds deelbaar door 2, het andere door 4 (het getal dat deelbaar is door 4 is uiteraard ook delbaar door 2, maar dat doet er hier niet toe). Bij drie opeenvolgende getallen is er ook steeds ťťn deelbaar door drie.

#6

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 november 2005 - 01:54

Deze opgave komt uit de Q-E-D beginnerscompetitie van oktober: zie www.q-e-d.be :roll:

#7

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 november 2005 - 14:12

Deze is wat langer, maar mss ook de moeite.
Stelling: Voor elk priemgetal groter dan 3 geldt : (p≤-1)/24 is een natuurlijk getal.

Bewijs: We weten zeker dat p van de vorm 2n+1 is, maar dan is p≤-1 van de vorm 4n≤+4n, een getal dat zeker deelbaar is door 4. Dus (p≤-1)/4 = n≤+n. Stel nu dat n even is, dan is n≤ ook even en n≤+n ook. Stel dat n oneven is. Dan is n≤ oneven en n≤+n even. Dus voor elk natuurlijk getal n geldt: n≤+n is deelbaar door 2. Tot hier hebben we dus al bewezen dat p≤-1 steeds deelbaar is door 8. Beschouwen we terug het getal p≤-1. We kunnen N indelen in drie verzamelingen (0(mod3), 1(mod3) en 2(mod3)) die als unie volledig N hebben. Geen enkel priemgetal groter dan 3 zit echter in de verzameling 0(mod3). Dus de verzameling P van alle priemgetallen groter dan 3 spreidt zich over 1(mod3) en 2(mod3). Beschouw een priemgetal 1(mod3), maw van de vorm 3n+1. p≤-1 is dan van de vorm 9n≤+6n en dus zeker deelbaar door 3. Neem nu een priemgetal van de vorm 3n+2 (2(mod3) dus). p≤-1 is dan van de vorm 9n≤+12n+3 en eveneens deelbaar door 3. We hebben dus bewezen dat p≤-1 deelbaar is door 8 ťn door 3. Dus (p≤-1)/24 is een natuurlijk getal. qed





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures