Springen naar inhoud

kleinste kwadraten methode


  • Log in om te kunnen reageren

#1

poeder

    poeder


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 april 2006 - 09:39

Wat is de kleinste kwadraten methode?

Hoort ANOVA (ANalysis Of Variance) hier ook bij?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

The Herminator

    The Herminator


  • >1k berichten
  • 2035 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 april 2006 - 10:33

Bij deze methode bepaal je het verschil tussen een berekende curve en een experimentele curve, door simpelweg op elk meetpunt de twee waardes van elkaar af te trekken, en alle verschillen te middelen. Zou je dit echter doen zonder speciale maatregelen, dan gaan de positieve en negatieve verschillen tussen de twee curves elkaar opheffen, en krijg je dus een te positief resultaat voor de "fit".

Dit ondervang je door alle verschillen te kwadrateren..... vandaar de naam! ;)

ANOVA is iets HEEL anders! Het is een zg. "kwantitatieve multivariatie-analyse", waarbij je data analyseert waarin minstens 3 onafhankelijke variabelen aanwezig zijn... hier kan je dus geen lineaire analyses op loslaten!

Veranderd door The Herminator, 10 april 2006 - 10:34


#3

poeder

    poeder


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 april 2006 - 22:57

Er is een standaardadditie uitgevoerd. In totaal zijn er 4 standaarden hiervoor gebruikt. 1 standaard is aangevuld met oplosmiddel en de andere drie met een oplossing van en zuivere stof.
De standaarden zijn in duplo geinjecteerd.

c (mg/ml) Piekopp.(mV.s)
0 2751523,92
0 3499675,53
20 3916173,46
20 3384735,07
40 3738809,90
40 3968029,41
100 6490717,65
100 6790337,52

uit Excel de volgende vergelijking uit de grafiek verkregen:
y = 35785x + 300000
R2= 0,9285

volgens de kleinste kwadraten methode

y berekend residu residu kwadraat
3000000 -248476,08 61740362332
3000000 499675,532,49676E+11
3715700 200473,4640189608164
3715700 -330964,931,09538E+11
4431400 -692590,1 4,79681E+11
4431400 -463370,592,14712E+11
6578500 -87782,357705740972
6578500 211837,52 44875134880
som
35451200 -911197,541,20812E+12


SSres = 1,20812E+12

Aantal meetpunten (n) is 8

rechte lijn 2 parameters

variantie = 2,01353E+11

standaarddeviatie in eeen meetpunt is 448723,6746
Is dit alles van de kleinste kwadraten methode?
Ik weet niet wat ik hieruit kan concluderen?

Veranderd door poeder, 10 april 2006 - 23:39


#4

saturnus ans

    saturnus ans


  • >100 berichten
  • 162 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 april 2006 - 15:08

volgens de kleinste kwadraten methode

y berekend residu residu kwadraat
3000000 -248476,08 61740362332
3000000 499675,532,49676E+11
3715700 200473,4640189608164
3715700 -330964,931,09538E+11
4431400 -692590,1 4,79681E+11
4431400 -463370,592,14712E+11
6578500 -87782,357705740972
6578500 211837,52 44875134880
som
35451200 -911197,541,20812E+12


Dit gaat niet helemaal goed... Als je de verschillen voor de Least Squares methode wil gebruiken moet je de waarden voor y ber berekenen, hieruit bereken je de residuen; voorbeeldje (NB voor de eerste twee meetpunten "0" en "0":

x
0,00
0,00

y gemeten
2751523,92
3499675,53

y berekend (y = 35785,46x + 2886082) (je kan in excel ook hier voor de optie getal kiezen je zit dan met kleinere afrondingsfouten)
2886082,00
2886082,00

residu = y (gemeten) - y (berekend)
-134558,08
613593,53

residu dy in kwadraat
18105876893,29
376497020057,86


Voor alle 8 meetpunten (=n) bereken je dit, vervolgens tel je alle "residu dy in het kwadraat" op.

De standaard deviatie (in y en x) bereken je door Sy/x=wortel(som residu in het kwadraat / n-2)

Variantie is btw niet meer dan de standaard deviatie in het kwadraat in principe dus (som residu in het kwadraat / n-2) maar dan zonder wortel.

Nu heb je verschillende fouten, een in de richtingscoefficient en een in het intercept, als je dat zou willen zou je die ook apart kunnen berekenen... als je dat wil check dan ook eens Miller en Miller (Statistics an chemometrics for analytical chemistry), die geven over het algemeen meer info hierover dan Andries...

Veranderd door saturnus ans, 11 april 2006 - 15:29


#5

woelen

    woelen


  • >1k berichten
  • 3145 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 april 2006 - 15:22

De kleinste kwadraten methode komt in het algemeen er op neer, dat je n onbekenden uit N meetpunten probeert te halen, met n < N. Je stelt een set van N vergelijkingen op met n onbekenden. Dit levert in de praktijk een overbepaald stelsel op, dat niet oplosbaar is. Wat je echter wel kunt doen is zoeken naar die vector x = [x1 .. xn]T, waarvoor de absolute waarde van de vergelijking zo klein mogelijk is.

Dus, je hebt de vergelijking A(x) = b. A is hier je model, met de te bepalen parametervector x. De vector b is de vector van N meetpunten.
Als A een lineaire operator is, dan kun je deze vergelijking schrijven als Ax = b, waarbij Ax een matrix/vector vermenigvuldiging is. A heeft N rijen en n kolommen.

De kleinste kwadraten methode levert die waarde van x, zodanig dat || Ax - b || minimaal is.

Voor een lineair stelsel is dit probleem heel eenvoudig op te lossen (met Matlab is het een paar regeltjes code):

x = (ATA)-1ATb

Als n = N, dan reduceert dit simpelweg tot x = A-1b

Voor een niet-lineair probleem is het een stuk lastiger op te lossen. Dan moet je een iteratieve procedure gebruiken om het minimum van || Ax - b || te bepalen.

Veranderd door woelen, 11 april 2006 - 15:31


#6

saturnus ans

    saturnus ans


  • >100 berichten
  • 162 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 april 2006 - 15:36

@ woelen ik snap wat je bedoelt, maar gaat dit niet iets te ver; matrixalgebra voor chemlevel 3...

is trouwens wel een erg gave hobby.... grin.... maar goed...

Groetjes Angela

#7

woelen

    woelen


  • >1k berichten
  • 3145 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 april 2006 - 16:03

Oeps, foutje ;) . Ik had naar jouw chemlevel (6) gekeken i. p.v. dat van "poeder". In mijn achterhoofd had ik jou als eerste vraagsteller gekoppeld aan dit topic.

Veranderd door woelen, 11 april 2006 - 16:05


#8

poeder

    poeder


  • >25 berichten
  • 36 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 april 2006 - 13:35

Hoe weet ik dat de gemeten y-waarden binnen de 95 % betrouwbaarheid vallen?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures