Springen naar inhoud

[Wiskunde] Extremum Vraagstuk 2


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 16:31

Bereken de oppervlakte van de grootst mogelijke rechthoek die kan ingeschreven worden in een halve cirkel met straal r.


Geplaatste afbeelding

Dus de blauwe driehoek heb ik getekent. Ik werk dus met de halve rechthoek , wanneer deze maximaal is, is ook de totale opp maximaal (uitkomst x2)

Wat ik nu al heb:

sin x = ORZ/SZ
cos x = ARZ/SZ

Sin x * r = ORZ (de breedte)
Cos x * r = ARZ (de lengte)

L*b = Sin x * r * Cos x * r = Opp

Sinx * Cosx * r▓ = Opp halve rechthoek

Maar nu kom ik dus niet meer verder, wanneer ik de afgeleide neem kom ik niet aan wat ik zou moeten komen :roll:

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 16:50

De opgave gaat uit van een rechthoek ingeschreven in een halve cirkel, je bent dus juist bezig en moet achteraf helemaal niet meer verdubbelen.

De oppervlakte wordt inderdaad gegeven door jouw formule, dus:

S(a) = r▓cos(a)sin(a) = r▓sin(2a)/2

Op het einde paste ik de verdubbelingsformule voor de sinus in omgekeerde richting toe, dat moet niet maar het maakt het afleiden gemakkelijker.

Los nu S'(a) = 0 om de hoeken te vinden die tot een extremum leiden.

#3

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 17:29

Ik begrijp die verdubbelingsformula wel, maar ik vind het niet echt makkelijker om af te leiden ...

Als ik dus r▓ * sinx * cosx afleid krijg ik dus het volgende:

r▓ is een constante ? Dus die ik hoef ik niet af te leiden ? Of ben ik hier fout ?

r▓ (cosx * cosx + sinx * (-sinx))

:roll: r▓ (cos▓x - sin▓x)

Dusjah r▓ is de uitkomst, had wat tussen de haakjes ipv - een + geweest dan werd dat gewoon 1 en dan had ik het gevonden, maar hier kan ik dus niks verder mee :P

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 19:08

Ik begrijp die verdubbelingsformula wel, maar ik vind het niet echt makkelijker om af te leiden ...

Je leidt af naar de hoek x, dus r▓ is hier een gegeven constante straal.
Het gebruiken van de verdubbelingsformule maakt het afleiden makkelijker omdat je dan geen productregel meer moet gebruiken.

(r▓sin(2x)/2)' = r▓cos(2x)*2/2 = r▓cos(2x)

S'(x) = 0 => r▓cos(2x) = 0 <=> cos(2x) = 0

#5

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 19:17

euhmz, en hoe vind ik nu de maximale opp ? :roll:

#6

wannes

    wannes


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 november 2005 - 20:46

euhmz, en hoe vind ik nu de maximale opp ?  :roll:

als de afgeleide 0 is, dan is er een extremum van de afgeleide functie
dus we vinden een extremum als cos(2x)=0 dus 2x= :P /2, dus als x=:P/4

#7

Kris Hauchecorne

    Kris Hauchecorne


  • >250 berichten
  • 294 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 november 2005 - 21:26

Ik vind het volgende:
Als je de cirkel tekent in cartesisch stelsel geeft dit y=wortel(r▓-x▓)
(y is steeds positief)

Het oppervlak S wordt dan S=2xy voor x>0
of S=x*wortel(r▓-x▓)

dS/dx=(r▓-2x▓)/wortel(r▓-x▓) moet gelijk zijn aan nul.

Bijgevolg moet x=r/wortel(2), wat niet hetzelfde is als de vorige oplossing.

Waar is dit misgelopen?

Wijziging: als ik de nacontrole doe vind ik voor x=pi/4 een oppervlak van 0,9723 als ik r=1 stel. Voor x=r/wortel(2) vind ik een oppervlak gelijk aan 1.
Geloven staat vrij, maar kwak blijft kwak.

#8

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 22:00

MAar ik moet dus wel zoeken wat de grootst mogelijke oppervlakte is hÚ, ik moet niet de hoek x zoeken :roll:

#9

wannes

    wannes


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 november 2005 - 22:04

MAar ik moet dus wel zoeken wat de grootst mogelijke oppervlakte is hÚ, ik moet niet de hoek x zoeken  :roll:

als je de hoek x hebt , heb je toch ook de oppervlakte, want je hebt de lengte en de breeedte van de rechthoek(met de formules die je zelf opschreef)

#10

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 22:05

Ohjah, nog maar eens een bewijs dat ik zonder jullie hulp er niet geraakt zou zijn :roll:

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 22:08

euhmz, en hoe vind ik nu de maximale opp ?  :P

als de afgeleide 0 is, dan is er een extremum van de afgeleide functie
dus we vinden een extremum als cos(2x)=0 dus 2x= :roll: /2, dus als x=:)/4

We vinden dus een maximale oppervlakte wanneer de hoek 45░ is. Laten we dit voorlopig a noemen, want dit is nÝet de x-co÷rdinaat (misschien verwarrend...) Nu hebben we het probleem immers opgelost in poolco÷rdinaten, met x = rcos(a) en y = rsin(a).

Ik wil er wel even op wijzen dat we een factor 2 vergeten zijn in onze oppervlakte, de x-co÷rdinaat is namelijk maar de helft van de totale breedte van de rechthoek. Dit heeft echter geen effect op ons extremum.

Ik vind het volgende:
Als je de cirkel tekent in cartesisch stelsel geeft dit y=wortel(r▓-x▓)
(y is steeds positief)

Het oppervlak S wordt dan S=2xy voor x>0
of S=x*wortel(r▓-x▓)

dS/dx=(r▓-2x▓)/wortel(r▓-x▓) moet gelijk zijn aan nul.

Bijgevolg moet x=r/wortel(2), wat niet hetzelfde is als de vorige oplossing.

Waar is dit misgelopen?

Wijziging: als ik de nacontrole doe vind ik voor x=pi/4 een oppervlak van 0,9723 als ik r=1 stel. Voor x=r/wortel(2) vind ik een oppervlak gelijk aan 1.

Beste Kris,

Hierboven hebben we poolco÷rdinaten gebruikt, jij bent cartesisch blijven werken (wat ook mag, maar hier moeilijker is). Je vergeet bij S na substitutie van y ook de factor 2, maar ook hier kan dat geen kwaad.

Je oplossing verschilt niet van de vorige, jij vindt immers x = r/[wortel]2. In poolco÷rdinaten is x = rcos(a), dus:
rcos(a) = r/[wortel]2 <=> cos(a) = [wortel]2/2 <=> a = :P/4 = 45░.

Je ziet dus dat de x-co÷rdinaat wel afhankelijk is van de straal (logisch!) maar de hoek niet. Op dezelfde manier kunnen we uit onze oplossing dmv poolco÷rdinaten ook de x-co÷rdinaat vinden. We vonden dat a = :P/4 dus x = rcos(a) = r*[wortel]2/2 = r/[wortel]2.

#12


  • Gast

Geplaatst op 13 november 2005 - 22:11

Ik zie geen verschil, Kris.
y=x=r/sqrt(2)=r*cos(Pi/4), met max opp r^2.
Bovendien klopt dit met de max opp van een rechthoek beschreven in een cirkel met straal r.
Dit is nl een vierkant met diagonaal 2r en opp 2r^2.

#13

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 22:16

Euhmzz, m'n boek zegt dat de maximale oppervlakte r▓ is :roll:

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 22:19

Euhmzz, m'n boek zegt dat de maximale oppervlakte r▓ is  :roll:

Inderdaad, we hadden als oppervlakte: S(a) = 2r▓cos(a)sin(a).
Zoals ik al in m'n vorige post zei was die factor 2 in het begin vergeten. Substitutie van a = :P/4 levert S(:P/4) = r▓.

#15

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 november 2005 - 22:19

Ja ok het is opgelost, ik heb het gevonden, bedankt voor alle hulp van iedereen die wat gepost heeft :roll:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures