Springen naar inhoud

Combinatieleer


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Reddy

    Reddy


  • 0 - 25 berichten
  • 1 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 november 2005 - 16:43

Hoe bepaal ik het aantal mogelijke combinaties bij samenstellingen uit elementen van n letters?

Elke letter kan maar eenmaal voorkomen. Ook koppels zijn mogelijk.

Ter uitleg een voorbeeld van n=3 letters:

A, B, C

Vormt samen de elementen:

A
B
C
A-B
A-C
B-C
A-B-C

Het aantal elementen volgt uit de formule

(3 boven 1) + (3 boven 2) + (3 boven 3) = 3 + 3 + 1 = 7

Deze elementen vormen samen de combinaties:

A B C
A-B C
A-C B
B-C A
A-B-C

Hoe bereken ik het aantal combinaties van de elementen?

Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 november 2005 - 00:09

Daar is niet zomaar even een algemene formule voor te verzinnen die voor iedere n geldt.

Een algemene manier om het aantal combinaties bij n letters te tellen, is als volgt. Merk eerst op dat in een combinatie altijd iedere letter precies één keer voorkomt, het enige wat het verschil tussen combinaties maakt is welke letters aan welke zijn gekoppeld.

Neem als voorbeeld n=5, wat je nu doet is eerst opsplitsen in verschillende manieren waarop je de letters in groepen (koppels) kunt verdelen:

- vijf losse, oftewel: 5x1
- drie losse en één tweetal: 3x1+1x2
- twee losse en één drietal: 2x1+1x3
- één losse en twee tweetallen: 1x1+2x2
- één losse en één viertal: 1x1+1x4
- één tweetal en één drietal: 1x2+1x3
- één vijftal: 1x5

(het 'systeem' hierin is afnemende volgorde van aantal groepen, en binnen hetzelfde aantal de grootte van groepen)

Nu tel je per groepverdeling het aantal mogelijke combinaties. Ik noteer "n boven r" even als nCr:

5x1 -> 1
3x1+1x2 -> 5C2 = 10
2x1+1x3 -> 5C2 = 10
1x1+2x2 -> 5C1 * 4C2 / 2! = 15 (die gedeeld door 2! is omdat de volgorde van die koppels van twee niet uitmaakt)
1x1+1x4 -> 5C4 = 5
1x2+1x3 -> 5C2 = 10
1x5 -> 1

Totaal voor n=5: 52 combinaties.

Op dezelfde wijze n=6:
6x1 -> 1
4x1+1x2 -> 6C2 = 15
3x1+1x3 -> 6C3 = 20
2x1+2x2 -> 6C2 * 4C2 / 2! = 45
2x1+1x4 -> 6C2 = 15
1x1+1x2+1x3 -> 6C1 * 5C2 = 60
3x2 -> 6C2 * 4C2 / 3! = 15
1x1+1x5 -> 6C1 = 6
1x2+1x4 -> 6C2 = 15
2x3 -> 6C3 = 20
1x6 -> 1
Totaal: 213

Gelukkig geldt n :roll: 26 want meer letters bestaan er niet, dus het probleem kan niet oneindig complex worden :P
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures