Wetenschapsforum

ik vraag mij het volgende af. als je 10 deelt door 3, kom je 3.3333333... uit.

als je dat dan weer maal 3 doet kom je 9.99999999... uit. fout in de wiskunde of fout van mij?

Dit lijkt me wel het antwoord

http://www.wetenschapsforum.nl/invision/in...?showtopic=5140

made in flanders schreef:ik vraag mij het volgende af. als je 10 deelt door 3, kom je 3.3333333... uit.

als je dat dan weer maal 3 doet kom je 9.99999999... uit. fout in de wiskunde of fout van mij?

Geen van beide, 9.999... is namelijk exact hetzelfde als 10.

je kunt bewijzen dat 9,999999..... gelijk is aan 10

(10/3)*3=10

=>(0,3333...)*3=10

=>0,9999....=10

=zweistein=- schreef:je kunt bewijzen dat 9,999999..... gelijk is aan 10

(10/3)*3=10

=>(0,3333...)*3=10

=>0,9999....=10

uiteraard is dan de vraag of 0,3333333 = 1/3

1/3 = 0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333333.... met oneindig veel 3

als je met 3 vermenigvuldigt dan krijg je 0,99999..... met oneindig veel 9.

=> 0,99999... (met oneindig veel 9) is gelijk aan 10!!

1/3 = 0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333333....

Dit is juist het punt van discussie. Ik ben het met je eens hoor, maar niet iedereen geloof ik

=zweistein=- schreef:1/3 = 0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333333....

Dit is juist het punt van discussie. Ik ben het met je eens hoor, maar niet iedereen geloof ik

het beste (zelfgevonden) bewijs is:

0,99999 is de som van de meetkundige reeks 0,9+0,09+0,009+..., en die is idd 1!

Het bewijs dat 0,999....=1:

(uit het ongerijmde)

Laten we aannemen dat 0,999....<1

Dat zou behelzen dat er een getal p is waarvoor geldt p=1-0,999.... en p>0

Maar als p>0 geldt, dan geldt ook dat er een getal q is waarvoor geldt q<b en q>0.

Laten we dan deze q optellen bij 0,999...

omdat q<b geldt dan nog steeds dat 0,999...+q<10.

Dit trucje kunnen we blijven herhalen tot het nieuwe getal dat is opgeteld limiteert naar nul. (wat feitelijk al voor de eerste keer gebeurt)

Maar als die waarde limiteert naar nul valt zij ook zo te schrijven: 1/ , en dan volgt de volgende bewerking: 0,999...+1/

=1

Maar bekend is dat het optellen van een limit naar nul (1/ ) bij een getal niet van invloed is, dus: a+1/ =a

Dus de stelling dat 0,999...<1 kan onmogelijk kloppen

Eigenlijk moet ik nu ook nog bewijzen dat 0,999...>1 niet klopt, maar ik kan met aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid stellen dat jullie het mij niet kwalijk zullen nemen als ik dit achterwege laat.

0,999...<1 Klopt niet

0,999...>1 Klopt niet

En uit die twee volgt: 0,999...=1

Q.E.D

je kunt eventueel ook proberen met de rekenmachine, als je 1/3 intikt (=0.333...) en dat vermenigvuldigt met 3 krijg je 1, als je dit doet met 0.333 bekom je 0.999. Rekenmachine = almachtig?

De discussie over 0.999... = 1 heeft al eerder plaastgevonden. Zie de link in de eerst reply in dit topic.

Die heb ik al gelezen, maar ik val gewoon in herhaling

je kunt eventueel ook proberen met de rekenmachine, als je 1/3 intikt (=0.333...) en dat vermenigvuldigt met 3 krijg je 1, als je dit doet met 0.333 bekom je 0.999.  Rekenmachine = almachtig?

Een rekenmachine heeft een paar decimalen meer precisie dan hij toont of jou laat intikken. Dus als hij bijvoorbeeld een display van 10 cijfers heeft, en je rekent 1/3 uit, komt er intern 0.333.. uit met 12 drieën. Als je dat vermenigvuldigt met 3 komt er 0.999.. uit met 12 negens, wat hij afgerond op 10 decimalen weergeeft als 1. Maar als jij 0.333.. handmatig intikt (dus met maximaal negen drieën) en dat maal 3 doet, komt er 0.999.. uit met negen negens, en dat kan hij wél weergeven met z'n 10cijferige display.

Maar rekenmachines en computers zijn sowieso ondingen voor dit soort problemen. Een pentium 4 kan in een floating point getal met dubbele precisie nog niet eens het getal 0.1 (1/10) opslaan...

made in flanders schreef:ik vraag mij het volgende af. als je 10 deelt door 3, kom je 3.3333333... uit.

als je dat dan weer maal 3 doet kom je 9.99999999... uit. fout in de wiskunde of fout van mij?

Je past hier rekenregels toe die je kent voor eindige objecten op oneindige monsters zoals 3,3333333...

Dat is link en leidt vaak tot verkeerde conclusies.



Zeg Z = .....3333333

Dan is Z = 3 + 10 x .....333333 = 3 + 10 x Z

Dus ....333333 = -1/3

Negatieve getallen kunnen we afschaffen en vervangen door positieve met oneindig veel cijfers voor de komma. (zie voorgaande).

Ik zie ook in veel reacties dat men denkt dat reele Gegetalllen alleen weergegeven kunnen worden in een of ander getalstelsel (binair, decimaal enz.). Nou, het kan nog op heeeel veel meer manieren.

Voorbeeldje van het gevaar van werken met oneindige objecten:

Als A een matrix is en A(inv) zijn inverse dan geldt A.A(inv) = I en A(inv).A = I.

Voor een oneindige matrix A met inverse A(inv), d.w.z. A.A(inv) = I geldt meestal niet dat A(inv).A = I.