Springen naar inhoud

f(x) = x^x


  • Log in om te kunnen reageren

#1

zpidermen

    zpidermen


  • >1k berichten
  • 1623 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 november 2005 - 11:34

De meest idiote functie die ik ooit ben tegengekomen is f(x) = x^x. Ik weet ongeveer hoe die functie eruit ziet. Maar nu m'n vraag: wat is f(0)? Moet je zoiets met limiten berekenen, zo ja hoe gaat dat dan bij deze functie? Is er nog een andere manier om te bepalen wat f(0) is? Is f(0) uberhaupt wel te bepalen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 november 2005 - 11:38

0^0... dat bestaat niet (afhankelijk van hoe je de limiet neemt, kan je er 0 of 1 of iets anders uit krijgen).

http://www.math.utah.../math/0to0.html
Never underestimate the predictability of stupidity...

#3

Brownie

    Brownie


  • >250 berichten
  • 292 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 november 2005 - 11:55

Is er ook geen waarde te verzinnen die de functie continu en differentieerbaar maakt voor alle x?
"Not everything that can be counted counts, and not everything that counts can be counted." (A. Einstein)

#4

zpidermen

    zpidermen


  • >1k berichten
  • 1623 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 november 2005 - 11:59

0^0... dat bestaat niet (afhankelijk van hoe je de limiet neemt, kan je er 0 of 1 of iets anders uit krijgen).


Daar was ik al bang voor. Hetzelfde geldt namelijk ook voor 0/0. Maar is het niet mogelijk om op de een of andere manier een limietberekening toe te passen, zodat er wel een getal uit komt? Wat ik me namelijk nog van wiskunde herinner, was dat het met behulp van limietrekening mogelijk was om te bepalen wat 0/0 is. Wat is het getal 0 toch een lekker getal :roll:

#5


  • Gast

Geplaatst op 25 november 2005 - 12:15

De meest idiote functie die ik ooit ben tegengekomen is f(x) = x^x. Ik weet ongeveer hoe die functie eruit ziet. Maar nu m'n vraag: wat is f(0)? Moet je zoiets met limiten berekenen, zo ja hoe gaat dat dan bij deze functie? Is er nog een andere manier om te bepalen wat f(0) is? Is f(0) uberhaupt wel te bepalen?


Kun je dat ding niet schrijven als een Taylorreeks? x^x= e^(x*ln(x) ) ,en deze kun je als een reeks ontwikkelen. Kijk dan wat de limiet van die reeks is voor kleine x. Zo kun je bv ook makkelijk de limiet van [sin(x)]/x uitrekenen; daar komt dan 1-[x^2]/6 ..... uit, en dat is voor x=0 gelijk aan 1.

#6

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 november 2005 - 12:47

Is er ook geen waarde te verzinnen die de functie continu en differentieerbaar maakt voor alle x?

Voor de meeste x[kleinergelijk]0 is deze functie niet gedefinieerd, alleen als x>0 of x=-a/b met a[element]:roll:* en b een oneven getal.

In de meeste gevallen gebruikt men 00=1, maar dit is geen algemene definitie, en dat kan ook niet (zie boven).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#7

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 25 november 2005 - 13:04

Kun je dat ding niet schrijven als een Taylorreeks?


Neen, dat gaat niet.
Om te zien wat er gebeurt rond x=0 kun je beter de functie uitbreiden tot R:
f(x) = |x|^x als x>0 of x<0
f(x) = 1 als x = 0.

Deze f is continu op R. Hij is niet differentieerbaar in 0 want de raaklijn door (0,1) loopt vertikaal.
0^0 = 1 (per definitie).

lim |x|^x = 1 als x->0, (en dus lim x^x = 1 als x nadert van de rechterkant naar 0) want

lim ln(|x|) / x = 0 als x->oo of als x->-oo
Vervang x door 1/x, dan wordt dit
lim -x ln(|x|) = 0 als x->0
dan is lim x ln(|x|) = 0 als x->0
Dus is lim |x|^x = lim e^(x ln(|x|)) = e^0 = 1

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 26 november 2005 - 00:47

Wat ik me namelijk nog van wiskunde herinner, was dat het met behulp van limietrekening mogelijk was om te bepalen wat 0/0 is.

Wat soms kan, is de limiet uitrekenen van a/b waarbij zowel a als b naar 0 gaan. Maar dat is iets totaal anders dan 0/0. En bovendien kan de uitkomst van die limiet ieder willekeurig getal zijn, afhankelijk van wat a en b zijn.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 26 november 2005 - 16:15

De meest idiote functie die ik ooit ben tegengekomen is f(x) = x^x. Ik weet ongeveer hoe die functie eruit ziet. Maar nu m'n vraag: wat is f(0)? Moet je zoiets met limiten berekenen, zo ja hoe gaat dat dan bij deze functie? Is er nog een andere manier om te bepalen wat f(0) is? Is f(0) uberhaupt wel te bepalen?


f(0) bestaat gewoonweg niet
ax met a element van R+0
beeld = ]0, + oneindig[

#10

wannes

    wannes


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 november 2005 - 12:40

ik dacht ook dat 0^0 niet gedefinieerd was, maar in een oefenzitting moesten we het feit gebruiken dat 0^0=1, ik weet het dus ook niet zeker maar ik het eens navragen :roll:

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 november 2005 - 22:05

ik dacht ook dat 0^0 niet gedefinieerd was, maar in een oefenzitting moesten we het feit gebruiken dat 0^0=1, ik weet het dus ook niet zeker maar ik het eens navragen :roll:

Je kan in principe stellen dat het niet gedefinieerd is maar als er toch een keuze gemaakt wordt is dit meestal 1, om praktische redenen.

#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 27 november 2005 - 22:09

0^0=1 (per definitie)

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 november 2005 - 22:11

Volgens welke bron? Dat betwijfel ik namelijk. Voor zover ik weet is hier geen algemene consensus over, zoals bijvoorbeeld bij 0! = 1 wel het geval is.

#14

Elmo

    Elmo


  • >1k berichten
  • 3437 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 november 2005 - 07:43

Het rare is dat de Google calculator dit geeft: als je 0^0 invoerd, dan geeft hij: 0^0 = 1.

Maar goed, de dag dat we Google blind gaan vertrouwen ligt nog enige tijd in de toekomst... :roll:
Never underestimate the predictability of stupidity...

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 28 november 2005 - 07:55

'Raar' is het niet, het is namelijk de meest gebruikelijke waarde, maar of het inderdaad altijd goed gedefinieerd is betwijfel ik. In het algemeen lijkt onbepaald of niet gedefinieerd me beter.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures