[Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Anonymous

ik begrijp niet helemaal hoe je die met herleiden, ik wil niet weten dat je het met een proef kan doen, ik wil weten hoe je eraan komt.

Ik kwam zelf tot hier:

Bekend is dat bij een harmonische beweging geldt: u=l·sin(2πf·t). Waarbij 2πf = w ( hiermee bereken je de hoekfrequentie => rad/s ).

en blijkbaar moet je zo doorgaan: F= du(t)/dt = md2u/dt2=ml(w²)sin(wt)=mgsin(wt). Hiermee krijg je dan (w²) = g/l, oftewel 2πf = √(g/l) en dat is gelijk aan T= 2π√ (l/g) .

en dit snap ik niet, kan iemand mij uitleggen? of weet iemand een makkelijkere herleiding?

Anonymous

de formule om te herleiden : T= 2π√ (l/g)

Jan van de Velde

ik hoop dat ik duidelijk ga zijn, we praten over een slinger.

kracht / uitwijking = F/u = mgsin α / lsin α = mg/l = constant

α is de hoek tussen de richting van de zwaartekracht en de richting van je slingertouw . α is dus nul graden in de evenwichtsstand.

We kunnen nu de slingertijd berekenen uit de formule:

(voor de hopelijke duidelijkheid in deze enkellijnige weergave heb ik wat eigenlijk overbodige haken toegevoegd, het zou duidelijker zijn als deelstrepen hier en daar horizontaal stonden)

F= (4 π ²m /T² ) u

T²= (4 π ²m) u/F = (4 π ²m) l/mg = (4 π ²) l/g

hieruit volgt T=2 π √ (l/g)

helpt dit??

Anonymous

Hiermee krijg je dan (w²) = g/l, oftewel 2πf = √(g/l)

2π*1/T=√(g/l) <=> 2π*1/√(g/l)=T <=> 2π*√(l/g)=T

Dit zijn enkele (eenvoudige) herleidingsregels, maar als je daar nog vragen over hebt ...

bv 1/√(g/l)=√(l/g) want √(l/g)*√(g/l)=1

stel ze dan!!!

Bart

Jan, ik vind jouw afleiding een beetje vreemd.

De correcte manier om de beweging van een mathematische slinger op te lossen is:

F = m l a'' = - m g sin(a)

waarbij m de massa is, l de lengte van de slinger en a de hoek (a'' duidt de tweede tijdsafgeleide van a aan).

Dit is een transcedente differentiaalvergelijking, d.w.z. er is geen analytische oplossing te vinden.

Voor kleine hoeken geldt echter dat sin(a) ≈ a (Taylor reeks), waaruit volgt:

a'' = - g / l a

Dit is een lineaire differentaalvergelijking. Meest standaard is om hier een e-macht, sinus of cosinus te gebruiken.

Neem bijvoorbeeld a(t) = A cos(wt), met A en w onbekend. Dan volgt

-w² A cos(wt) = 0 g / l A cos(wt)

waaruit volgt dat w² = g / l

Als de slinger een beginuitwijking van a₀ heeft, dan is wordt de beweging geschreven door:

a(t) = a₀ cos(wt) (alleen voor kleine waarden van a₀)

Er geldt T = 2 π / w, waaruit volgt dat T = 2 π√(l/g)

Antoon

Een topic over de trillingstijd van zowel een veer als een slinger werd naar hier doorverwezen daarom probeer ik mijn afleiding van de trillingstijd van een veer ook te posten.

Zonder rare diffentciaal vegelijkingen!

http://img439.imageshack.us/img439/8044/hy...thesegif4mo.gif

(lange plaat dus ik post hem niet)

Antoon

Dan vraag ik mij af, als ik denk het me te zijn gelukt met mijn verklaring en ik hoor enkel dat er differenciaal vergelijkingen op los moeten worden gelaten.

Klopt mijn beredenering dan wel?

Jan van de Velde

Het zou wel eens kunnen dat het aan iets anders ligt. Mijn afleiding gaat alleen op voor kleinere uitwijkingen, dat zal het wel zijn. Ik ben er overigens zo goed als zeker van dat hij klopt, want die had ik echt niet meer in mijn hoofd zitten, en daarom heb ik er Schweers en van Vianen maar bij gehaald. Misschien beter meteen erbij vermeld...

Bart

Jan, je afleiding klopt wel, maar op een gegeven moment gebruik je: F= (4 π²m /T² ) u

Maar hoe weet je dat? Ik heb het idee dat hier voorkennis van de trilling van een veer wordt gebruikt.

Jan van de Velde

op een gegeven moment gebruik je: F= (4 ^ 2m /T^2 ) u

Deze is weer afgeleid van, hoe moet ik dat nou uitleggen.....

Een punt beschrijft met een constante rotatiesnelheid een cirkelbaan. Je kunt de positie van dat punt projecteren op een van de assen van een assenstelsel met als punt (0,0) het middelpunt van de cirkel. De projectie van het punt op die as zal in de tijd versnellen , vertragen en omkeren als en harmonische trilling. Om die afleiding volledig in een bericht te gooien heb ik nogal wat tijd nodig, om al die phpBB codes voor die formules fatsoenlijk op papier te krijgen. Als er interesse voor is wil ik dat een dezer dagen nog wel eens doen.

Bart

Jan van de Velde schreef:Deze is weer afgeleid van, hoe moet ik dat nou uitleggen.....

Een punt beschrijft met een constante rotatiesnelheid een cirkelbaan. Je kunt de positie van dat punt projecteren op een van de assen van een assenstelsel met als punt (0,0) het middelpunt van de cirkel. De projectie van het punt op die as zal in de tijd versnellen , vertragen en omkeren als en harmonische trilling. Om die afleiding volledig in een bericht te gooien heb ik nogal wat tijd nodig, om al die phpBB codes voor die formules fatsoenlijk op papier te krijgen. Als er interesse voor is wil ik dat een dezer dagen nog wel eens doen.

Eerlijk gezegd ben ik wel benieuwd. Ik ken deze manier voor de afleiding van de mathematisch slinger helemaal niet.

Wat volgens mij wel een minpuntje is in zowel de afleiding als van Jan als die van Antoon is dat je alleen de trillingstijd weet. Je weet dus niks van de beweging van de slinger zelf.

M-Wave

het is misschien een domme vraag maar hoe kom je aan de afleiding

F=m*a =-m*g sin (a) [rr]

EvilBro

M-Wave schreef:het is misschien een domme vraag maar hoe kom je aan de afleiding

F=m*a =-m*g sin (a) [rr]

Ik kan niet vinden waar dit naar verwijst. Ik kan natuurlijk wel het volgende verzinnen:

De massa aan de slinger beweegt zich over een deel van een cirkel met straal l. We gaan de beweging van de massa over de cirkel bekijken. De uitwijking u is de afstand over de cirkel naar de massa vanuit het 'rustpunt' van de slinger. De omtrek van de hele cirkel is \(2 \pi l\) en de hoek die hierbij hoort is natuurlijk \(2 \pi\) rad. Bij een stukje cirkel van lengte u hoort dan dus een hoek van \(\frac{u}{l}\) rad. Ofwel:

\(\alpha = \frac{u}{l}\)

De zwaartekracht trekt aan de massa met \(m \cdot g\). De zwaartekracht kan gezien worden als hebbende twee componenten: een die in het verlengde van het touw trekt en een die loodrecht hierop staat. De component die in het verlengde van het touw trekt zal de massa niet versnellen. De andere component wel. Deze component heeft een grootte van:

\(F = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) = m \cdot g \cdot \sin(\frac{u}{l})\)

De loodrechtcomponent zal de massa versnellen. Het 'grappige' van deze component is dat hij altijd in de richting van de cirkel versnelt. Voor deze component moet dus ook gelden dat:

\(F = m \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = m \cdot g \cdot \sin(\frac{u}{l}) \rightarrow \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} - g \cdot \sin(\frac{u}{l}) = 0\)

Met de benadering \(\sin(\frac{u}{l}) \approx \frac{u}{l} \) voor kleine waarden van \(\frac{u}{l}\) (ofwel \(u << l\)) kun je nu de DV oplossen.

melvindraaijer

ik vind deze afleiding wel goed maar k snap hem niet zo goed? is er misschien een uitleg over hoe die pi daar komt en een overzichtelijke weergave?

stoker

die Pi is een gevolg van de definitie van de periode van een trilling.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

[Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger

Re: [Natuurkunde] Afleiding periode mathematische slinger