Springen naar inhoud

olympiade opgave..


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 16 april 2004 - 19:17

Opgave 106
Zij n een geheel getal en p een priemgetal z, dat np + 1 een kwadraat is.
Bewijs dat n + 1 de som is van p kwadraten.

..hoi,
ik heb een probleempje met deze vraag, : ik snap de vraag niet goed..
ik zoek meer uitleg, ik heb geprobeerd via voorbeelden te nemen bijv.:
n=7 , p=5
er geldt dus 5*7+1=36 >> dus een kwadraat.
n+1=8, en 8 is dus de som van 5 kwadraten, klopt het tot nu toe.?
maar, welke 5 kwadraten zijn het dan~?

.... ik hoef geen oplossing van de opgave, >> wel een uitleg over de vraag..

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 april 2004 - 20:00

.... ik hoef geen oplossing van de opgave, >> wel een uitleg over de vraag..


Wat begrijp je dan niet aan de vraag? Hij lijkt mij duidelijk genoeg en het antwoord op je voorbeeld (ik geeft het toch maar) is 1, 1, 1, 1 en 4.

#3


  • Gast

Geplaatst op 16 april 2004 - 20:09



.... ik hoef geen oplossing van de opgave, >> wel een uitleg over de vraag..


Wat begrijp je dan niet aan de vraag? Hij lijkt mij duidelijk genoeg en het antwoord op je voorbeeld (ik geeft het toch maar) is 1, 1, 1, 1 en 4.

ik dacht dat een kwadraat n keer mag voorkomen.:shock: merci

#4

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 april 2004 - 22:50

Opgave 106
Zij n een geheel getal en p een priemgetal z, dat np + 1 een kwadraat is.
Bewijs dat n + 1 de som is van p kwadraten.


Ik ben zeer benieuwd naar een bewijs voor deze bewering. Volgens mij klopt hij namelijk niet; tegenvoorbeeld: n=9 en p=11. Volgens de bewering zou 10 de som van 11 kwadraten moeten zijn.

#5

Stefan

    Stefan


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2004 - 09:05

Opgave 106
Zij n een geheel getal en p een priemgetal z, dat np + 1 een kwadraat is.
Bewijs dat n + 1 de som is van p kwadraten.


Ik ben zeer benieuwd naar een bewijs voor deze bewering. Volgens mij klopt hij namelijk niet; tegenvoorbeeld: n=9 en p=11. Volgens de bewering zou 10 de som van 11 kwadraten moeten zijn.


Ik denk dat er bij staat (of anders bij had moeten staan) n>p. Ten eerste hoe kan je anders als bijvoorbeeld p = n+10 krijgen dat n+1 de som is van p=n+10 kwadraten? Zelfs met allemaal ene gaat het mis.

Als je neemt p=9, n=11 klopt ie wel: 100 is een kwadraat; 12=4+1+1.. (acht enen). Maar een bewijs van deze gemodificeerde stelling zie ik niet zo een twee drie.

#6

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2004 - 09:42

Ik denk dat er bij staat (of anders bij had moeten staan) n>p.


Dat zou kunnen want anders regent het tegenvoorbeelden. Je kunt bij ieder priemgetal p>3 een tegenvoorbeeld vinden door n=p-2 te nemen.
Immers: np+1=(p-2)p+1=(p-1)^2 en het is onmogelijk om n+1=p-1 op te schrijven als de som van p priemgetallen.

#7


  • Gast

Geplaatst op 18 april 2004 - 11:21

klik op www.pythagoras.nu en daarna op olympiade opgaven, vraag 106 en 107

#8

the bug

    the bug


  • >25 berichten
  • 82 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2004 - 13:43

...
Als je neemt p=9, n=11 klopt ie wel: 100 is een kwadraat; 12=4+1+1.. (acht enen).  Maar een bewijs van deze gemodificeerde stelling zie ik niet zo een twee drie.


in dat voorbeeld is echter p (=9) geen priemgetal :wink:

maar hoe oplossen :?: :shock:

#9

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2004 - 15:42

maar hoe oplossen  :?:  :shock:


Wat bedoel je met "hoe oplossen". Een bewijs voor de bewering? Maar er kan geen bewijs zijn voor een bewering die overduidelijk niet waar is.

#10


  • Gast

Geplaatst op 18 april 2004 - 18:03

maar hoe oplossen  :?:  :shock:


Wat bedoel je met "hoe oplossen". Een bewijs voor de bewering? Maar er kan geen bewijs zijn voor een bewering die overduidelijk niet waar is.

je bewijst eerst dan n< p ( dus p geen deler van n) en dan ga je verder met et bewijs dan n+1 is de som van .....ect

#11

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2004 - 19:22

je bewijst eerst dan n< p ( dus p geen deler van n) en dan ga je verder met et bewijs dan n+1 is de som van .....ect


Leuk geprobeerd, maar, zoals ik hierboven al heb bewezen, bij ieder priemgetal p kun je een getal n<p vinden waarvoor de stelling niet waar is. Je bewijsvoorstel kan dus niet werken.

#12

Stefan

    Stefan


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 april 2004 - 20:20

Een andere mogelijkheid is nog dat 0 ook als kwadraat wordt beshouwd. Immers 0*0=0. Dan kloppen de p=n+2 getallen altijd . Neem maar een rijtje kwadraten 1+1+.. (dit n+1 keer)... +1 + 0 = n+1; en het zijn n+2=p kwadraten :wink:

#13

Stefan

    Stefan


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2004 - 18:37

Ik heb de oplossing!
Misschien een beetje flauw om hem hier helemaal te geven.
Het begin gaat zo:

Zij x het gehele getal waarvoor
np+1 = x^2.
Dan is np=x^2-1=(x-1)(x+1)
p is priem dus is het een deler van (x-1) of (x+1).
Stel van (x-1) dus x-1 = k p.
Dan is np = pk(pk+2)=p^2 k^2 +2pk,
ofwel n+1=pk^2+2k+1=(p-1)k^2+k^2+2k+1=
= (p-1)k^2+(k+1)^2.
En in feite staat het er al....

#14


  • Gast

Geplaatst op 04 mei 2004 - 18:54

Ik heb de oplossing!
Misschien een beetje flauw om hem hier helemaal te geven.
Het begin gaat zo:

Zij x het gehele getal waarvoor
np+1 = x^2.
Dan is np=x^2-1=(x-1)(x+1)
p is priem dus is het een deler van (x-1) of (x+1).
Stel van (x-1) dus x-1 = k p.
Dan is np = pk(pk+2)=p^2 k^2 +2pk,
ofwel n+1=pk^2+2k+1=(p-1)k^2+k^2+2k+1=
= (p-1)k^2+(k+1)^2.
En in feite staat het er al....

n+1=(p-1)k^2+(k+1)^2.
(k+1)^2 is een kwadraat en (p-1)k^2 is niet perse een kwadraat, en bovendien stel je hebt "twee' kwadraten, zijn het wel p kwadraten?!
en stel p is een deler van x+1 wat vind je daarna

#15

Stefan

    Stefan


  • >100 berichten
  • 123 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 mei 2004 - 00:26

Ik heb de oplossing!
Misschien een beetje flauw om hem hier helemaal te geven.
Het begin gaat zo:

Zij x het gehele getal waarvoor
np+1 = x^2.
Dan is np=x^2-1=(x-1)(x+1)
p is priem dus is het een deler van (x-1) of (x+1).
Stel van (x-1) dus x-1 = k p.
Dan is np = pk(pk+2)=p^2 k^2 +2pk,
ofwel n+1=pk^2+2k+1=(p-1)k^2+k^2+2k+1=
= (p-1)k^2+(k+1)^2.
En in feite staat het er al....

n+1=(p-1)k^2+(k+1)^2.
(k+1)^2 is een kwadraat en (p-1)k^2 is niet perse een kwadraat, en bovendien stel je hebt "twee' kwadraten, zijn het wel p kwadraten?!
en stel p is een deler van x+1 wat vind je daarna


Hij klopt echt hoor: "en (p-1)k^2 is niet perse een kwadraat" klopt maar het zijn wel p-1 kwadraten [(p-1)k^2=k^2+k^2+k^2...], dus samen met (k+1)^2 maakt dat precies de gevraagde p kwadraten. Voor het andere geval , dus p deelt (x+1), gaat het bewijs geheel analoog, met als enige verschil dat je op (k-1)^2 uitkomt als een van de kwadraten.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures