Opgave 106
Zij n een geheel getal en p een priemgetal zó, dat np + 1 een kwadraat is.
Bewijs dat n + 1 de som is van p kwadraten.
..hoi,
ik heb een probleempje met deze vraag, : ik snap de vraag niet goed..
ik zoek meer uitleg, ik heb geprobeerd via voorbeelden te nemen bijv.:
n=7 , p=5
er geldt dus 5*7+1=36 >> dus een kwadraat.
n+1=8, en 8 is dus de som van 5 kwadraten, klopt het tot nu toe.?
maar, welke 5 kwadraten zijn het dan~?
.... ik hoef geen oplossing van de opgave, >> wel een uitleg over de vraag..
Laatste berichten
-
06:56
Casus uit de praktijk: positief test THC 3
-
22:01
vB 7
-
21:45
Vreemde stank in huis 9
-
15 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 1
-
15 apr
Python: sockets sluiten 4
-
14 apr
Een eenvoudige logische redenering waarom tijd niet kan bestaan 'daarbuiten' 6
-
14 apr
Hoe kun je op quantumwijze getallen vinden in een rij die kleiner zijn dan getal k 3
-
13 apr
Rotatie van het heelal 22
-
13 apr
Documentenverdwijnen uit onedrive 1
-
12 apr
Behoud van impulsmoment en energie 5
-
12 apr
INLOG STORING / TIPS 4
-
09 apr
[natuurkunde] systeemgrafen 1
-
05 apr
afbuiging licht rond zware objecten via grondbeginselen relativiteitstheorie 490
-
05 apr
Ongepaste reclame 179
-
04 apr
Gegevens wissen mobiel 6
-
04 apr
Geiger Muller telbuis 2
-
03 apr
Schroefdraad berekening 3
-
03 apr
Relatieve luchtvochtigheid 26
-
03 apr
tank 4
-
02 apr
gereduceerde massa 12
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
olympiade opgave..
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 718
Re: olympiade opgave..
.... ik hoef geen oplossing van de opgave, >> wel een uitleg over de vraag..
Wat begrijp je dan niet aan de vraag? Hij lijkt mij duidelijk genoeg en het antwoord op je voorbeeld (ik geeft het toch maar) is 1, 1, 1, 1 en 4.
Re: olympiade opgave..
ik dacht dat een kwadraat één keer mag voorkomen.Bert schreef:Wat begrijp je dan niet aan de vraag? Hij lijkt mij duidelijk genoeg en het antwoord op je voorbeeld (ik geeft het toch maar) is 1, 1, 1, 1 en 4.olym schreef:
.... ik hoef geen oplossing van de opgave, >> wel een uitleg over de vraag..
merci-
- Berichten: 718
Re: olympiade opgave..
olym schreef:Opgave 106
Zij n een geheel getal en p een priemgetal zó, dat np + 1 een kwadraat is.
Bewijs dat n + 1 de som is van p kwadraten.
Ik ben zeer benieuwd naar een bewijs voor deze bewering. Volgens mij klopt hij namelijk niet; tegenvoorbeeld: n=9 en p=11. Volgens de bewering zou 10 de som van 11 kwadraten moeten zijn.
-
- Berichten: 123
Re: olympiade opgave..
Ik denk dat er bij staat (of anders bij had moeten staan) n>p. Ten eerste hoe kan je anders als bijvoorbeeld p = n+10 krijgen dat n+1 de som is van p=n+10 kwadraten? Zelfs met allemaal ene gaat het mis.Bert schreef:Ik ben zeer benieuwd naar een bewijs voor deze bewering. Volgens mij klopt hij namelijk niet; tegenvoorbeeld: n=9 en p=11. Volgens de bewering zou 10 de som van 11 kwadraten moeten zijn.olym schreef:Opgave 106
Zij n een geheel getal en p een priemgetal zó, dat np + 1 een kwadraat is.
Bewijs dat n + 1 de som is van p kwadraten.
Als je neemt p=9, n=11 klopt ie wel: 100 is een kwadraat; 12=4+1+1.. (acht enen). Maar een bewijs van deze gemodificeerde stelling zie ik niet zo een twee drie.
-
- Berichten: 718
Re: olympiade opgave..
Ik denk dat er bij staat (of anders bij had moeten staan) n>p.
Dat zou kunnen want anders regent het tegenvoorbeelden. Je kunt bij ieder priemgetal p>3 een tegenvoorbeeld vinden door n=p-2 te nemen.
Immers: np+1=(p-2)p+1=(p-1)^2 en het is onmogelijk om n+1=p-1 op te schrijven als de som van p priemgetallen.
Re: olympiade opgave..
klik op www.pythagoras.nu en daarna op olympiade opgaven, vraag 106 en 107
-
- Berichten: 82
Re: olympiade opgave..
in dat voorbeeld is echter p (=9) geen priemgetalStefan schreef:...
Als je neemt p=9, n=11 klopt ie wel: 100 is een kwadraat; 12=4+1+1.. (acht enen). Maar een bewijs van deze gemodificeerde stelling zie ik niet zo een twee drie.
maar hoe oplossen
-
- Berichten: 718
Re: olympiade opgave..
maar hoe oplossen
Wat bedoel je met "hoe oplossen". Een bewijs voor de bewering? Maar er kan geen bewijs zijn voor een bewering die overduidelijk niet waar is.
Re: olympiade opgave..
je bewijst eerst dan n< p ( dus p geen deler van n) en dan ga je verder met et bewijs dan n+1 is de som van .....ectthe bug schreef:maar hoe oplossen
Wat bedoel je met "hoe oplossen". Een bewijs voor de bewering? Maar er kan geen bewijs zijn voor een bewering die overduidelijk niet waar is.
-
- Berichten: 718
Re: olympiade opgave..
je bewijst eerst dan n< p ( dus p geen deler van n) en dan ga je verder met et bewijs dan n+1 is de som van .....ect
Leuk geprobeerd, maar, zoals ik hierboven al heb bewezen, bij ieder priemgetal p kun je een getal n<p vinden waarvoor de stelling niet waar is. Je bewijsvoorstel kan dus niet werken.
-
- Berichten: 123
Re: olympiade opgave..
Een andere mogelijkheid is nog dat 0 ook als kwadraat wordt beshouwd. Immers 0*0=0. Dan kloppen de p=n+2 getallen altijd . Neem maar een rijtje kwadraten 1+1+.. (dit n+1 keer)... +1 + 0 = n+1; en het zijn n+2=p kwadraten
-
- Berichten: 123
Re: olympiade opgave..
Ik heb de oplossing!
Misschien een beetje flauw om hem hier helemaal te geven.
Het begin gaat zo:
Zij x het gehele getal waarvoor
np+1 = x^2.
Dan is np=x^2-1=(x-1)(x+1)
p is priem dus is het een deler van (x-1) of (x+1).
Stel van (x-1) dus x-1 = k p.
Dan is np = pk(pk+2)=p^2 k^2 +2pk,
ofwel n+1=pk^2+2k+1=(p-1)k^2+k^2+2k+1=
= (p-1)k^2+(k+1)^2.
En in feite staat het er al....
Misschien een beetje flauw om hem hier helemaal te geven.
Het begin gaat zo:
Zij x het gehele getal waarvoor
np+1 = x^2.
Dan is np=x^2-1=(x-1)(x+1)
p is priem dus is het een deler van (x-1) of (x+1).
Stel van (x-1) dus x-1 = k p.
Dan is np = pk(pk+2)=p^2 k^2 +2pk,
ofwel n+1=pk^2+2k+1=(p-1)k^2+k^2+2k+1=
= (p-1)k^2+(k+1)^2.
En in feite staat het er al....
Re: olympiade opgave..
n+1=(p-1)k^2+(k+1)^2.Stefan schreef:Ik heb de oplossing!
Misschien een beetje flauw om hem hier helemaal te geven.
Het begin gaat zo:
Zij x het gehele getal waarvoor
np+1 = x^2.
Dan is np=x^2-1=(x-1)(x+1)
p is priem dus is het een deler van (x-1) of (x+1).
Stel van (x-1) dus x-1 = k p.
Dan is np = pk(pk+2)=p^2 k^2 +2pk,
ofwel n+1=pk^2+2k+1=(p-1)k^2+k^2+2k+1=
= (p-1)k^2+(k+1)^2.
En in feite staat het er al....
(k+1)^2 is een kwadraat en (p-1)k^2 is niet perse een kwadraat, en bovendien stel je hebt "twee' kwadraten, zijn het wel p kwadraten?!
en stel p is een deler van x+1 wat vind je daarna
-
- Berichten: 123
Re: olympiade opgave..
Hij klopt echt hoor: "en (p-1)k^2 is niet perse een kwadraat" klopt maar het zijn wel p-1 kwadraten [(p-1)k^2=k^2+k^2+k^2...], dus samen met (k+1)^2 maakt dat precies de gevraagde p kwadraten. Voor het andere geval , dus p deelt (x+1), gaat het bewijs geheel analoog, met als enige verschil dat je op (k-1)^2 uitkomt als een van de kwadraten.Priem schreef:n+1=(p-1)k^2+(k+1)^2.Stefan schreef:Ik heb de oplossing!
Misschien een beetje flauw om hem hier helemaal te geven.
Het begin gaat zo:
Zij x het gehele getal waarvoor
np+1 = x^2.
Dan is np=x^2-1=(x-1)(x+1)
p is priem dus is het een deler van (x-1) of (x+1).
Stel van (x-1) dus x-1 = k p.
Dan is np = pk(pk+2)=p^2 k^2 +2pk,
ofwel n+1=pk^2+2k+1=(p-1)k^2+k^2+2k+1=
= (p-1)k^2+(k+1)^2.
En in feite staat het er al....
(k+1)^2 is een kwadraat en (p-1)k^2 is niet perse een kwadraat, en bovendien stel je hebt "twee' kwadraten, zijn het wel p kwadraten?!
en stel p is een deler van x+1 wat vind je daarna
