Springen naar inhoud

halveringsprobleem


  • Log in om te kunnen reageren

#1

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2005 - 13:00

Ik vond het volgende aardige probleem.
Wie heeft een oplossing?

Van een natuurlijk getal N halen we het eerste cijfer weg en plakken het achter het getal (b.v. 123 wordt 231).
Door deze actie wordt het getal N gehalveerd.
Geef een waarde voor N.

Zie http://home.quicknet...logica/pvdw.htm

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2005 - 13:51

het eerste getal is

10.a+b

(we schrijven het "eerste getal" als a)

dan geldt:

tweede getal (eerste cijfer erna) wordt dan

10.b+a

we lossen dit op:
10.a+b=2.(10.b+a)

er komt

{a = 19/8*b, b = b}

of; nemen we b=8 dan a=19; controle: 198/99=2

uiteraard kan je verder gaan, en ipv veronderstellen dat het getal a kleiner dan tien is, bijv. veronderstellen dat 9<a<99, dan komt er

{b = b, a = 199/98*b}

ofte: a=199, b=98
???

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2005 - 13:52

0 :roll:

rodeo.be, was is bij jou nu N? (198 kan niet, want dat wordt 981 en dat is niet de helft van 198)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2005 - 13:56

of; nemen we b=8 dan a=19; controle: 198/99=2

Als je N gelijk is aan 198, dan is je N* (getal na de schuif-operatie) 981, en niet 99. Het probleem zit in het feit dat in jouw model, a én b kleiner dan 10 moeten zijn om aan het probleem te voldoen.

#5

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2005 - 14:07

Er zijn denk ik oneindig veel van zulke getallen N, twee voorbeelden zijn: 210526315789473684 en 315789473684210526315789473684210526.

(edit) Verder voldoet ieder getal van de vorm N = 2p(1018q-1)/19 met 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en q[element]:roll: :P
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#6

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 02 december 2005 - 14:59

Niet te geloven.
Knap gevonden!!!

#7

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2005 - 18:48

of; nemen we b=8 dan a=19; controle: 198/99=2

Als je N gelijk is aan 198, dan is je N* (getal na de schuif-operatie) 981, en niet 99. Het probleem zit in het feit dat in jouw model, a én b kleiner dan 10 moeten zijn om aan het probleem te voldoen.

ja, dat was idd mijn veronderstelling, maar de getallen 8 en 19 voldoen hier niet aan :roll: toch ingevuld, en het klopt:

a=19

b=8



10.a+b = 190+8 = 198

10.b+a = 80+19 = 99
klopt toch?

Niet te geloven.
Knap gevonden!!!

no prob :P

Er zijn denk ik oneindig veel van zulke getallen N, twee voorbeelden zijn: 210526315789473684 en 315789473684210526315789473684210526.

(edit) Verder voldoet ieder getal van de vorm N = 2p(1018q-1)/19 met 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en q[element]:P :P

wel, ik heb maple laten solven (leve M) en je hebt idd oneindig veel mog.
???

#8

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 december 2005 - 19:20

a=19

b=8



10.a+b = 190+8 = 198

10.b+a = 80+19 = 99
klopt toch?

Nee, a staat voor het eerste cijfer, en dat moet één cijfer zijn (1 t/m 9), dus '19' kan niet :roll:

Verder is het eerste getal niet 10.a+b maar 10[10Log(hele getal)].a+b waarbij [...] de entier-functie voorstelt, die rondt af naar beneden.

wel, ik heb maple laten solven (leve M) en je hebt idd oneindig veel mog.

Huh, hoe laat je dit door Maple oplossen dan?
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#9

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 december 2005 - 19:42

Nee, a staat voor het eerste cijfer, en dat moet één cijfer zijn (1 t/m 9), dus '19' kan niet :P

kut ja :P teveel benaderd :roll:
???

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 december 2005 - 16:41

Rogier, kan je me vertellen hoe je aan je formule komt. En hoe je de getallen gegenereerd hebt.
Overigens laat de formule zien dat er oneindig veel getallen zijn die voldoen aan de voorwaarde.

#11

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2005 - 23:36

Een getal dat aan de voorwaarde voldoet kun je schrijven als p :D 10n + r, waarbij 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en r<10n. p is dus het voorste (meest significante) cijfer en r de rest.
Heb je bijvoorbeeld 40571, dan p = 4 en r = 571 (en n=4).

Na de beschreven verschuiving wordt het getal: 10r+p, en dit moet de helft zijn van waar je mee begon, dus dan weet je dat moet gelden p :D 10n + r = 2(10r+p).
Werk je deze vergelijking uit:
p :) 10n + r = 20r + 2p
p(10n-2) + r = 20r
p(10n-2) = 19r
p(10n-2)/19 = r

Omdat p en r allebei gehele getallen zijn, moet (10n-2)/19 ook een geheel getal zijn. Als je een n hebt gevonden waarvoor (10n-2)/19 :? :roll:, dan heb je meteen 9 oplossingen, namelijk p = 1 t/m 9. De bijbehorende r kun je uitrekenen en die voldoet altijd aan r<10n want r = p(10n-2)/19 :? 9(10n-2)/19 < 10n[.]9/19 < 10n.

De eerste n die voldoet is n=17, wat deze oplossingen oplevert:

p=1 :) 1 :P 1017 + 1(1017-2)/19 = 105263157894736842
p=2 :D 2 :P 1017 + 2(1017-2)/19 = 210526315789473684
enz.

De volgende is n=35, 53, 71, en zo iedere 18q-1 voor q :P :roll:*.

Het getal als geheel is dan p :) 10n + r
= p :? 10n + p(10n-2)/19
= p ( 10n + (10n-2)/19 )
= p ( 10n :? 19 + 10n-2 ) / 19
= p ( 10n :) 20 - 2 ) / 19
= p ( 10n+1 :) 2 - 2 ) / 19
= 2p ( 10n+1 - 1 ) / 19

n was van de vorm 18q-1 met q :P :P*, dus de uiteindelijke oplossing is: 2p(1018q-1)/19 :P 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en q[element]:P*

Als je deze formule eenmaal hebt is het genereren van de getallen natuurlijk kinderspel (er zijn er inderdaad oneindig).

Nou weet ik alleen niet meer hoe ik eraan ben gekomen dat 19 een deler is van 10n-2 :P n=18q-1... Ik had het toen zo maar ik zie het nu niet meer!? Als iemand anders dat weet, graag!
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#12

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 07 december 2005 - 00:14

Nou weet ik alleen niet meer hoe ik eraan ben gekomen dat 19 een deler is van 10n-2 :) n=18q-1... Ik had het toen zo maar ik zie het nu niet meer!? Als iemand anders dat weet, graag!


19 is een deler van (1018)q-1 (Stelling van Fermat).
Je moet toch echt 1000.... fisiek door 19 delen om te zien of niet 19 deler is van 10z-1 voor z=deler van 18.

Er zit een foutje in het bewijs van Rogier :) :D :P .
Waar :P Wie ziet het :roll: :P

#13

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2005 - 00:23

19 is een deler van (1018)q-1 (Stelling van Fermat).

Oh ja, dank.

Er zit een foutje in het bewijs van Rogier  :)  :P  :D .
Waar :P  Wie ziet het :roll:   :)

Bedoel je deze misschien?

p(10n-2)/19 = r

Omdat p en r allebei gehele getallen zijn, moet (10n-2)/19 ook een geheel getal zijn"

Da's iets te kort door de bocht, (10n-2)/19 hoefde slechts een geheel getal / p te zijn. Maar als p(10n-2) een 19-voud is moet die priemfactor 19 wel uit (10n-2) komen, want p[kleinergelijk]9.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#14

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 07 december 2005 - 09:26

Fout is een groot woord. Het is iets suptiels.

Schrijf N = pqR.
De p naar recht brengen geeft: M = qRp.
M en N bevatten evenveel cijfers en N = 2M
Dus in M = qRp kan q slechts de waarden 1,2,3 of 4 hebben.
Dan is p = 2 of 3 (als q=1);
p = 4 of 5 (als q=2)
p = 6 of 7 (als q=3)
p = 8 of 9 (als q=4)

Dus 2 :D p :roll: 9.

p=1 voldoet dus niet.
:wink:

#15

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 december 2005 - 09:35

Wat is er mis met N = 105263157894736842 dan?
Dit wordt na verschuiving 052631578947368421, wat we meestal noteren als 52631578947368421 (*) maar dat is wel degelijk N/2.

Lijkt me een prima oplossing toch? :D

(*zie ook je signature :roll:)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures