Een getal dat aan de voorwaarde voldoet kun je schrijven als p
10
n + r, waarbij 1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en r<10
n. p is dus het voorste (meest significante) cijfer en r de rest.
Heb je bijvoorbeeld 40571, dan p = 4 en r = 571 (en n=4).
Na de beschreven verschuiving wordt het getal: 10r+p, en dit moet de helft zijn van waar je mee begon, dus dan weet je dat moet gelden p
10
n + r = 2(10r+p).
Werk je deze vergelijking uit:
p
10
n + r = 20r + 2p
p(10
n-2) + r = 20r
p(10
n-2) = 19r
p(10
n-2)/19 = r
Omdat p en r allebei gehele getallen zijn, moet (10
n-2)/19 ook een geheel getal zijn. Als je een n hebt gevonden waarvoor (10
n-2)/19
, dan heb je meteen 9 oplossingen, namelijk p = 1 t/m 9. De bijbehorende r kun je uitrekenen en die voldoet altijd aan r<10
n want r = p(10
n-2)/19
9(10
n-2)/19 < 10
n[.]9/19 < 10
n.
De eerste n die voldoet is n=17, wat deze oplossingen oplevert:
p=1
1
10
17 + 1(10
17-2)/19 = 105263157894736842
p=2
2
10
17 + 2(10
17-2)/19 = 210526315789473684
enz.
De volgende is n=35, 53, 71, en zo iedere 18q-1 voor q
*.
Het getal als geheel is dan p
10
n + r
= p
10
n + p(10
n-2)/19
= p ( 10
n + (10
n-2)/19 )
= p ( 10
n 19 + 10
n-2 ) / 19
= p ( 10
n 20 - 2 ) / 19
= p ( 10
n+1 2 - 2 ) / 19
= 2p ( 10
n+1 - 1 ) / 19
n was van de vorm 18q-1 met q
*, dus de uiteindelijke oplossing is: 2p(10
18q-1)/19
1[kleinergelijk]p[kleinergelijk]9 en q[element]
*
Als je deze formule eenmaal hebt is het genereren van de getallen natuurlijk kinderspel (er zijn er inderdaad oneindig).
Nou weet ik alleen niet meer hoe ik eraan ben gekomen dat 19 een deler is van 10
n-2
n=18q-1... Ik had het toen zo maar ik zie het nu niet meer!? Als iemand anders dat weet, graag!