Springen naar inhoud

bewijzen: ggd(a,b)=ggd(a-bq,b)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 december 2005 - 14:27

hello!
ik heb een vraagje, hoe kan ik mbv van deze stellingen de onderstaande stelling bewijzen:
voor alle gehele getallen a,b,c,d geldt
d2) a|b en b|c ==> a|c
d3) d|a ==> d|ab en db|ab
d4) d|a en a>0 ==> d<=a


d5) ggd(a,b)=(a-bq,b)


de opdracht is eigenlijk zo

a) Bewijs d2) en d3)
b) bewijs voor a,b uit z en d,q uit N dat als d een deler is van a en b dat d ook deler is van a-qb en a+bq
c) bewijs d5)

a en b zijn zo te maken, maar ik zit wel vast bij c).. enig idee hoe?
merci bienee

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 december 2005 - 16:54

De ggd is de grootste van de gemeenschappelijke delers

nu voor c bewijs je het eigenlijk het best door zelfs meer te bewijzen : de hele verz gemene delers van a en b is dezelfde als die van a-b*q en b

immers als x een deler is van a en b

is het ook een deler
b (logisch)
en a-b*q

omgekeerd als x een deler is van a-b*q en b
is het ook een deler van x(logisch)
en van a-b*q+b*q=a

#3

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2005 - 21:08

De ggd is de grootste van de gemeenschappelijke delers

nu voor c bewijs je het eigenlijk het best door zelfs meer te bewijzen : de hele verz gemene delers van a en b  is dezelfde als die van a-b*q en b

immers als x een deler is van a en b

is het ook een deler  
b (logisch)
en a-b*q

omgekeerd als x een deler is van a-b*q en b
is het ook een deler van x(logisch)
en van a-b*q+b*q=a

mm ik snap wel de aanpak maar ik snap niet wat je daarna doet..
vooral vanaf 'omgekeerd'..

je hebt aangetoond dat (a,b)|a-bq en (a,b)|b (gegeven)

hoe moet je het omgekeerde tonen..?
ik dacht al aan: als x|y en y|x dan is |x|=|y|

#4

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2005 - 10:45

Kijk het is misschien een beter dat ik het iets algebraischer uitleg, beetje abstracter, maar dan zie je de structuur beter

neem een willekeurig geheel getal d
noem V de verzameling van alle veelvouden van d

deze V is een deelverzameling van Z, maar een hele speciale, hij is gesloten onder

: optelling, als a en b veelvouden zijn van d, is a+b dat ook

: vermenigvuldiging ; als a in V zit, zal elk veelvoud r*a ook in V zitten

schrijf dit eens uit , met de definitie van veelvoud zijn volgt dit er direct uit


wel, als nu een deler d a en b deelt, deelt ie ook (-b)*q (tweede eigenschap)
maar ie deelt nu a en (-b)*q en wegens de eerste dus ook (a+(-b*q))
d is dus deler van a en a+(-b)q

en nu het omgekeerde, als d een deler is van b an a-b*q
en dan is het ook een deler van b*q (tweede eigenschap) en dus ook van
(a-b*q)+b*q=a
d is dus deler van b en a

dit lijkt misschien gepruts maar eens je echt mooi die structuur van die V ziet is het eigenlijk logisch

#5

zijtjeszotjes

    zijtjeszotjes


  • >100 berichten
  • 171 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2005 - 14:17

he... je wordt bedankt!
(K) :roll:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures