bewijzen: ggd(a,b)=ggd(a-bq,b)
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 171
bewijzen: ggd(a,b)=ggd(a-bq,b)
hello!
ik heb een vraagje, hoe kan ik mbv van deze stellingen de onderstaande stelling bewijzen:
voor alle gehele getallen a,b,c,d geldt
d2) a|b en b|c ==> a|c
d3) d|a ==> d|ab en db|ab
d4) d|a en a>0 ==> d<=a
d5) ggd(a,b)=(a-bq,b)
de opdracht is eigenlijk zo
a) Bewijs d2) en d3)
b) bewijs voor a,b uit z en d,q uit N dat als d een deler is van a en b dat d ook deler is van a-qb en a+bq
c) bewijs d5)
a en b zijn zo te maken, maar ik zit wel vast bij c).. enig idee hoe?
merci bienee
ik heb een vraagje, hoe kan ik mbv van deze stellingen de onderstaande stelling bewijzen:
voor alle gehele getallen a,b,c,d geldt
d2) a|b en b|c ==> a|c
d3) d|a ==> d|ab en db|ab
d4) d|a en a>0 ==> d<=a
d5) ggd(a,b)=(a-bq,b)
de opdracht is eigenlijk zo
a) Bewijs d2) en d3)
b) bewijs voor a,b uit z en d,q uit N dat als d een deler is van a en b dat d ook deler is van a-qb en a+bq
c) bewijs d5)
a en b zijn zo te maken, maar ik zit wel vast bij c).. enig idee hoe?
merci bienee
- Berichten: 792
Re: bewijzen: ggd(a,b)=ggd(a-bq,b)
De ggd is de grootste van de gemeenschappelijke delers
nu voor c bewijs je het eigenlijk het best door zelfs meer te bewijzen : de hele verz gemene delers van a en b is dezelfde als die van a-b*q en b
immers als x een deler is van a en b
is het ook een deler
b (logisch)
en a-b*q
omgekeerd als x een deler is van a-b*q en b
is het ook een deler van x(logisch)
en van a-b*q+b*q=a
nu voor c bewijs je het eigenlijk het best door zelfs meer te bewijzen : de hele verz gemene delers van a en b is dezelfde als die van a-b*q en b
immers als x een deler is van a en b
is het ook een deler
b (logisch)
en a-b*q
omgekeerd als x een deler is van a-b*q en b
is het ook een deler van x(logisch)
en van a-b*q+b*q=a
-
- Berichten: 171
Re: bewijzen: ggd(a,b)=ggd(a-bq,b)
mm ik snap wel de aanpak maar ik snap niet wat je daarna doet..evilbu schreef:De ggd is de grootste van de gemeenschappelijke delers
nu voor c bewijs je het eigenlijk het best door zelfs meer te bewijzen : de hele verz gemene delers van a en b is dezelfde als die van a-b*q en b
immers als x een deler is van a en b
is het ook een deler
b (logisch)
en a-b*q
omgekeerd als x een deler is van a-b*q en b
is het ook een deler van x(logisch)
en van a-b*q+b*q=a
vooral vanaf 'omgekeerd'..
je hebt aangetoond dat (a,b)|a-bq en (a,b)|b (gegeven)
hoe moet je het omgekeerde tonen..?
ik dacht al aan: als x|y en y|x dan is |x|=|y|
- Berichten: 792
Re: bewijzen: ggd(a,b)=ggd(a-bq,b)
Kijk het is misschien een beter dat ik het iets algebraischer uitleg, beetje abstracter, maar dan zie je de structuur beter
neem een willekeurig geheel getal d
noem V de verzameling van alle veelvouden van d
deze V is een deelverzameling van Z, maar een hele speciale, hij is gesloten onder
: optelling, als a en b veelvouden zijn van d, is a+b dat ook
: vermenigvuldiging ; als a in V zit, zal elk veelvoud r*a ook in V zitten
schrijf dit eens uit , met de definitie van veelvoud zijn volgt dit er direct uit
wel, als nu een deler d a en b deelt, deelt ie ook (-b)*q (tweede eigenschap)
maar ie deelt nu a en (-b)*q en wegens de eerste dus ook (a+(-b*q))
d is dus deler van a en a+(-b)q
en nu het omgekeerde, als d een deler is van b an a-b*q
en dan is het ook een deler van b*q (tweede eigenschap) en dus ook van
(a-b*q)+b*q=a
d is dus deler van b en a
dit lijkt misschien gepruts maar eens je echt mooi die structuur van die V ziet is het eigenlijk logisch
neem een willekeurig geheel getal d
noem V de verzameling van alle veelvouden van d
deze V is een deelverzameling van Z, maar een hele speciale, hij is gesloten onder
: optelling, als a en b veelvouden zijn van d, is a+b dat ook
: vermenigvuldiging ; als a in V zit, zal elk veelvoud r*a ook in V zitten
schrijf dit eens uit , met de definitie van veelvoud zijn volgt dit er direct uit
wel, als nu een deler d a en b deelt, deelt ie ook (-b)*q (tweede eigenschap)
maar ie deelt nu a en (-b)*q en wegens de eerste dus ook (a+(-b*q))
d is dus deler van a en a+(-b)q
en nu het omgekeerde, als d een deler is van b an a-b*q
en dan is het ook een deler van b*q (tweede eigenschap) en dus ook van
(a-b*q)+b*q=a
d is dus deler van b en a
dit lijkt misschien gepruts maar eens je echt mooi die structuur van die V ziet is het eigenlijk logisch