Springen naar inhoud

Bewijs goniometrie: bijv. cos(1/2pi - t) = sin(t)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 december 2005 - 14:49

Ik ben benieuwd hoe met deze problemen aanpakt en oplost.
Er wordt de laatste tijd redelijk veel gevraagd over goniometrie en over dit soort sommen van G&R NG/NT4. Daar komen ze in namelijk.

Vandaar dat ik met deze topic veel vragen voor wil zijn voordat het eindexamen er weer aankomt en dit soort vagen toch wel de revue zullen passeren.

Dus...

Bewijs
1. cos( 1/2 :P - t ) = sin ( t )
2. sin( 1/2 :roll: - t ) = cos ( t )

Alvast deze 2 maar. Dit moet een soort van opvangtopic worden over dit soort "eindexamenstofvragen".
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 december 2005 - 14:55

Dat zijn toch evidente identiteiten van complementaire hoeken?
Anders bewijs je ze bijvoorbeeld met de formules voor goniometrische functies van een som van hoeken, dat is gewoon invulwerk dan.

#3

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 03 december 2005 - 15:30

De "moeilijkste":
Als je de sinusgrafiek :P/2 naar rechts schuiven, dan krijg je de cosinusgrafiek op zijn kop.
Dus
sin(t) :roll:/2 naar rechts schuiven geeft
sin(t - :)/2). Deze grafiek om de x-as spiegelen geeft
-sin(t - :P/2) en dat is dus cos(t).

cos(t) = -sin(t - :P/2) = {sin is een oneven functie} sin(:P/2 - t)

#4

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 december 2005 - 16:06

Ik ben benieuwd hoe met deze problemen aanpakt en oplost.
Er wordt de laatste tijd redelijk veel gevraagd over goniometrie en over dit soort sommen van G&R NG/NT4. Daar komen ze in namelijk.

Vandaar dat ik met deze topic veel vragen voor wil zijn voordat het eindexamen er weer aankomt en dit soort vagen toch wel de revue zullen passeren.

Dus...

Bewijs
1. cos( 1/2 :P - t ) = sin ( t )
2. sin( 1/2 :roll: - t ) = cos ( t )

Alvast deze 2 maar. Dit moet een soort van opvangtopic worden over dit soort "eindexamenstofvragen".

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), nu is a=1/2 :), en b=-t:
cos( 1/2 :P - t )=cos(1/2 :P)cos(-t)-sin(1/2 :P)sin(-t); nu is de cosinus van 90° nul, en de sinus ervan 1; het geeft:
=-sin(-t)
???

#5

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 december 2005 - 16:15

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b), nu is a=1/2 :P, en b=-t:
cos( 1/2 :roll: - t )=cos(1/2 :P)cos(-t)-sin(1/2 :))sin(-t); nu is de cosinus van 90° nul, en de sinus ervan 1; het geeft:
=-sin(-t)

= sin(t)

Juist.

Dat dacht ik ook al: we hebben nu al meerdere manieren om dit soort opgaven op te lossen. Substitutie zou ook nog een mogelijkheid zijn.
Noem A = ... etc.
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#6

rodeo.be

    rodeo.be


  • >250 berichten
  • 647 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 december 2005 - 17:59

of zo
> convert(sin(t),exp);

> subs(t=Pi/2-t,%);

> simplify(%);



                            /              1    

                     -1/2 I |exp(t I) - --------|

                                       exp(t I)/





                   /    / Pi   	            1        

            -1/2 I |exp(|---- - t| I) - -----------------|

                   |     2      /          / Pi   	 |

                   |                    exp(|---- - t| I)|

                 	                       2      /   /





                                cos(t)



>
(sorry, geen goesting om die exponenten uit te typen)
???

#7

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 04 december 2005 - 23:37

Je kunt deze formule ook opvatten als de spiegeleigenschap van bissectrice van het eerste en derde kwadrant in de eenheidscirkel.

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 december 2005 - 12:58

Je kunt deze formule ook opvatten als de spiegeleigenschap van bissectrice van het eerste en derde kwadrant in de eenheidscirkel.


Ik denk dat dit de aangewezen manier om de formules aan te tonen.
Sinus en cosinus worden doorgaans geintroduceerd met behulp van de eenheidscirkel.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures