Springen naar inhoud

Fermat-achtige vergelijking


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2005 - 00:59

Hoi, deze las ik in een proefexamen van Princeton :

Stelling De vergelijking x^4 - y^4 = 100002 heeft geen gehele oplossingen.
Bewijs ?

Ik heb al een zeer technisch bewijsje, waarin je moet aannemen dat 2381 (dat volgt uit het feit dat 10002 = 2[.]3[.]7 :roll: 2381) priem is. Natuurlijk is dat geen manier van werken! Misschien hebben jullie een meer theoretisch bewijs?

Dank bij voorbaat,

ND

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

evilbu

    evilbu


  • >250 berichten
  • 792 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2005 - 10:38

ik zou al zeer blij zijn als ik MAAR dat moest aannemen? je kan toch met de hand dat checken eigenlijk, je moet gewoon kijken of het door geen enkel priemgetal onder 50 deelbaar is?

#3

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2005 - 14:20

evilbu, zou je eens kunnen verklaren waarom je slechts alle priemgetallen tot en met 50 moet checken? Je kan gelijk hebben hoor, maar ik dacht dat je alle priemen onder 1190 ( :roll: 2381/2) moet controleren.

#4

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2005 - 15:35

evilbu, zou je eens kunnen verklaren waarom je slechts alle priemgetallen tot en met 50 moet checken? Je kan gelijk hebben hoor, maar ik dacht dat je alle priemen onder 1190 ( :roll: 2381/2) moet controleren.

Als 2381 is te schrijven als a[.]b, dan is a of b kleiner dan :P(2381)
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#5

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2005 - 20:40

Ik denk dat ik het gevonden heb!

Stelling De vergelijking x^4 - y^4 = 100002 heeft geen gehele oplossingen.
Bewijs De vergelijking x^4 - y^4 = 100002 heeft enkel oplossingen in :D als a≤ - b≤ = 100002 gehele oplossingen heeft met a en b volkomen kwadraten. De laatste vergelijking ontbinden geeft : (a-b)(a+b)=100002. We weten echter dat 100002 = 2 :) 3 :? 7 :? 2381. Om aan te tonen dat 2381 priem is , gebruiken we volgende hulpstelling (met dank aan evilbu en Rogier):
Hulpstelling Zij n :?: :roll: {0,1} en p ( :?: 1) de kleinste deler van n. Dan is p priem en als n niet zelf priem is, dan geldt p :D :P n.
Met andere woorden, om priemdelers van 2381 te zoeken moeten we enkel controleren of priemen onder :P 2381 :) 49 deler zijn. Manueel narekenen levert geen enkele priemdeler op. We besluiten dat 2381 priem is. Stel {2, 3, 7, 2381} = {p1, p2, p3, p4}. Dan geldt : (a-b)(a+b)= p1 :roll: p2 :P p3 :P p4. Als en slechts als a-b = p1 :) ... :? pk en a+b = p(k+1) :? ... :P p4 met 1 :) k :) 4. Dit stelsel oplossen naar a en b geeft: a = 1/2 (p1 :P ... :P pk + p(k+1) :? ... :P p4) en b = 1/2 (p1 :P ... :P pk - p(k+1) [wortel] ... [wortel] p4). We moeten wel eisen dat a en b volkomen kwadraten zijn! Beschouw daartoe de partities {{2} , {3, 7, 2381}}, {{3} , {2, 7, 2381}}, {{7} , {2, 3, 2381}}, {{2381}, {2, 3, 7}}, {{2, 3}, {7, 2381}}, {{2, 7}, {3, 2381}} en {{2, 2381}, {3, 7}} van {2, 3, 7, 2381}. Als we deze partities invullen in de oplossingen van a en b krijgen we echter nooit een kwadraat als oplossing voor a ťn b. Dus de vergelijking a≤ - b≤ = 100002 heeft geen oplossingen in :P met de bijkomende voorwaarde dat a en b volkomen kwadraten zijn. Dus de oplossingen x^4 - y^4 = 100002 heeft geen oplossingen in [wortel], wat moest bewezen worden.

#6

pieterc

    pieterc


  • 0 - 25 berichten
  • 17 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2005 - 20:51

Ik ken er mss niet genoeg van... maar als ik deze vergelijking gewoon tot reele functie maak , kom ik -17,78288301 uit...

#7

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2005 - 20:56

Hoi, ik zoek in dat vraagstuk naar oplossingen in :roll:. Getallen zoals 34, -5, 0, 2, .. dus.

#8

*_gast_PeterPan_*

  • Gast

Geplaatst op 06 december 2005 - 13:26

Simpel bewijs:

x^4-y^4 = (x^2+y^2)(x+y)(x-y) = 100002 = 2*50001
(x^2+y^2)(x+y)(x-y) = 2*50001
Het rechter lid is deelbaar door 2 maar niet door 4.
Als x en y beide even of oneven zijn dan zijn alle drie de factoren even en dus is het linker lid deelbaar door 8. Ai, dat kan dus niet.
Als x (y) even y (x) oneven dan zijn alle drie factoren oneven. Dus linker lid is oneven. Ai, dat kan ook niet.

#9

Nabuko Donosor

    Nabuko Donosor


  • >25 berichten
  • 94 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 december 2005 - 14:06

Dat had ik niet gezien. Stukken beter dan mijn bewijs. :roll:

#10

Ernie

    Ernie


  • >100 berichten
  • 179 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 december 2005 - 00:24

Tja, eigenlijk werk je gewoon modulo 4 ofzo:

aangezien x^4 - y^4 even is, hebben x en y dezelfde pariteit, dus moet x^2 - y^2 deelbaar zijn door 4, maar 10002 = 2 (mod 4), contradictie.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures